【素材】《平行四边形》以四边形为背景的问题（人教版）

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1、以四边形为背景的问题　　四边形是初中数学中最基础、最重要的一部分内容，特别是有关特殊的四边形知识是中考热点内容，现选取几例分类简析如下，供同学们参考.　　一、与平行四边形有关的问题FECABD　　例1　如图1，E、F分别是平行四边形ABCD对角线BD所在直线上两点，DE＝BF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需研究一组线段相等即可）.　　（1）连接________；（2）猜想：____________；　　（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）　　分析：用图中已有的点为端点构成

2、线段，其结果是与图中某一线段相等（或线段所在的三角形与图中某一个三角形全等）.如连接CF，可以猜想CF=AE，然后通过证明△ADE≌△CBF实现.当然答案是不惟一的.　　解：(1)CF；　　(2)CF=AE；　　(3)证明：∵四边形ABCD是平行四边形　　∴AD∥BC，AD=BC（平行四边形对边平行且相等）　　∴∠ADB=∠CBD（两直线平行内错角相等）　　∴∠ADE=∠CBF(等角的补角相等)　　∵DE=BF　　∴△ADE≌△CBF（SAS）　　∴CF=AE（全等三角形的对应边相等）.　　二、与矩形有关的问题　　例2　如图2，AB=CD=DE，AD=E

3、B，BE⊥DE，垂足为E．　　(1)求证：△ABD≌△EDB.　　(2)只需添加一个条件，即________，可使四边形ABCD为矩形.请加以证明.3/3　　分析：（1）由“SSS”很容易证明这两个三角形全等.　　（2）这是一道条件开放题，添加的条件不惟一，可依据矩形的判定定理，从边、角多角度地进行考虑，添加条件，然后再给予证明.　　解：(1)证明：在△ABD和△EDB中　　∵，∴△ABD≌△EDB（SSS）.　　（2）可以添加条件：AB∥CD或∠ABD=∠BDC等.　　从中选取AB∥CD，证明如下：　　∵AB=CD，AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四

4、边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.∵BE⊥DE，∴∠BED=90º.又由上证知△ABD≌△EDB，∴∠BAD=∠BED=90º，∴四边形ABCD为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.　　三、与正方形有关的问题　　例3　如图4，在正方形ABCD中，△PBC、△QCD是两个等边三角形，PB与DQ交于M，BP与CQ交于E，CP与DQ交于F.　　求证：PM=QM.　　分析：不在同一个三角形中要证明PM=QM，可以通过证明△MEQ≌△MFP得到.可以证明△EBC≌△FDC，得到CE=CF.所以PF=QE.又∠P=∠Q，∠QME=∠PMF即可得证

5、.　　证明：在正方形ABCD中，△PBC、△QCD都是等边三角形，　　∴∠QCB=∠PCD=30°.又∵BC=CD，∠PBC=∠QDC，　　∴△EBC≌△FDC.∴CE=CF.又∵CQ=CD=BC=CP，∴PF=QE.又∵∠P=∠Q，∠QME=∠PMF，∴△MEQ≌△MFP，∴PM=QM.　　点评：本题抓住正方形边相等和直角的性质，通过证明得到PF=QE，则有△MEQ≌△MFP.其实E、F是BP、QD的中点，由等腰三角形“三线合一”的性质也可以得出CE=CF，PF=QE.　3/3　四、与菱形有关的问题　　例4　如图4，在菱形中，分别是上的点，是延长线上一

6、点，且．试说明．　　　分析：连接，由于是菱形的对角线上一点，所以由图中基本图形的结论，知，于是．又由题设可得，所以．又已知，所以四边形是平行四边形．故．解答过程请同学们完成．3/3