第3章 递推算法(c++版)

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1、第三章递推算法递推法是一种重要的数学方法，在数学的各个领域中都有广泛的运用，也是计算机用于数值计算的一个重要算法。这种算法特点是：一个问题的求解需一系列的计算，在已知条件和所求问题之间总存在着某种相互联系的关系，在计算时，如果可以找到前后过程之间的数量关系（即递推式），那么，从问题出发逐步推到已知条件，此种方法叫逆推。无论顺推还是逆推，其关键是要找到递推式。这种处理问题的方法能使复杂运算化为若干步重复的简单运算，充分发挥出计算机擅长于重复处理的特点。递推算法的首要问题是得到相邻的数据项间的关系（即递推关系）。递推算法避开了求通项公式的麻烦

2、，把一个复杂的问题的求解，分解成了连续的若干步简单运算。一般说来，可以将递推算法看成是一种特殊的迭代算法。【例1】数字三角形。如下所示为一个数字三角形。请编一个程序计算从顶到底的某处的一条路径，使该路径所经过的数字总和最大。只要求输出总和。1、一步可沿左斜线向下或右斜线向下走；2、三角形行数小于等于100；3、三角形中的数字为0，1，…，99；测试数据通过键盘逐行输入，如上例数据应以如下所示格式输入：5738810274445265【算法分析】此题解法有多种，从递推的思想出发，设想，当从顶层沿某条路径走到第i层向第i+1层前进时，我们的选

3、择一定是沿其下两条可行路径中最大数字的方向前进，为此，我们可以采用倒推的手法，设a[i][j]存放从i,j出发到达n层的最大值，则a[i][j]=max{a[i][j]+a[i+1][j]，a[i][j]+a[i+1][j+1]}，a[1][1]即为所求的数字总和的最大值。【参考程序】#includeusingnamespacestd;intmain(){intn,i,j,a[101][101];cin>>n;for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=i;j++)cin>>a[i][j];//输入数字三角

4、形的值for(i=n-1;i>=1;i--)for(j=1;j<=i;j++){if(a[i+1][j]>=a[i+1][j+1])a[i][j]+=a[i+1][j];//路径选择elsea[i][j]+=a[i+1][j+1];}cout<0),输出铺法总数。【算法分析】（1）面对上述问题，如果思考方法不恰当，要想获得问题的解答是相当困难的。可以用递推方法归纳出问题解的一般规律。（2）当n=1时，只能是

5、一种铺法，铺法总数有示为x1=1。（3）当n=2时：骨牌可以两个并列竖排，也可以并列横排，再无其他方法，如下左图所示，因此，铺法总数表示为x2=2；（4）当n=3时：骨牌可以全部竖排，也可以认为在方格中已经有一个竖排骨牌，则需要在方格中排列两个横排骨牌（无重复方法），若已经在方格中排列两个横排骨牌，则必须在方格中排列一个竖排骨牌。如上右图，再无其他排列方法，因此铺法总数表示为x3=3。由此可以看出，当n=3时的排列骨牌的方法数是n=1和n=2排列方法数的和。（5）推出一般规律：对一般的n，要求xn可以这样来考虑，若第一个骨牌是竖排列放置，

6、剩下有n-1个骨牌需要排列，这时排列方法数为xn-1；若第一个骨牌是横排列，整个方格至少有2个骨牌是横排列（1*2骨牌），因此剩下n-2个骨牌需要排列，这是骨牌排列方法数为xn-2。从第一骨牌排列方法考虑，只有这两种可能，所以有：xn=xn-1+xn-2（n>2）x1=1x2=2xn=xn-1+xn-2就是问题求解的递推公式。任给n都可以从中获得解答。例如n=5，x3=x2+x1=3x4=x3+x2=5x5=x4+x3=8下面是输入n，输出x1~xn的c++程序：#includeusingnamespacestd;in

7、tmain(){intn,i,j,a[101];cout<<"inputn:";//输入骨牌数cin>>n;a[1]=1;a[2]=2;cout<<"x[1]="<

8、46269问题的结果就是有名的斐波那契数。【例3】棋盘格数设有一个N*M方格的棋盘（l≤N≤100，1≤M≤100）。求出该棋盘中包含有多少个正方形、多少个长方形（不包括正方形）。例如：当N=