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1、角平分线的性质第一课时不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？AOBC活动1则折痕OC平分∠AOB（对折）情境问题1、如图，是一个角平分仪，其中OM=ON,CM=CN。将点O放在角的顶点,OM和ON沿着角的两边放下,沿OC画一条射线OE,OE就是角平分线，你能说明它的道理吗?活动2情境问题OMNCE如果前面活动中的纸片换成木板、钢板没法折的角，又该怎么办呢？2、证明：在△OMC和△ONC中OM=ON（已知）CM=CN（已知）OC=OC（公共边）∴△OMC≌△ONC（SSS）∴∠M
2、OC=∠NOC（全等三角形的对应边相等）∴OC平分∠MON（角平分线的定义）OMNCE２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于ＭＮ的长为半径画弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．如何用尺规作角的平分线？AＢＯＭＮＣ１．以Ｏ为圆心，适当长为半径画弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．３．作射线OC．则射线ＯＣ即为所求．OMNEC作法AＢＭＮＣ为什么OC是角平分线呢？Ｏ想一想：已知：OM=ON，MC=NC。求证：OC平分∠AOB。证明：在△OMC和△ONC中，OM=ON，MC=NC，OC=OC，∴△OMC≌△ONC（SSS）∴∠MOC
3、=∠NOC即：OC平分∠AOB1〉平分平角∠AOB2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？3〉结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。活动4ABOCD实践应用(1)探究角平分线的性质(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？活动5(2)猜想:角平分线上的点到角两边的距离相等？？∟证明几何命题的一般步骤：1、明确命题的已知和求证2
4、、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。证明：∵OC平分∠AOB（已知）∴∠1=∠2（角平分线的定义）∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠PDO=∠PEO（垂直的定义）在△PDO和△PEO中∠PDO=∠PEO（已证）∠1=∠2（已证）OP=OP（公共边）∴△PDO≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）PAOBCED12已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E求证:PD=PE探究角平分线
5、的性质活动5(3)验证猜想命题：角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等用符号语言表示为：AOBPED12∵OC平分∠AOBPD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE(角平分线上的点到角两边的距离相等)推理的理由有三个，必须写全，不能少了任何一个。C∵如图，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴=，()角平分线上的点到角两边的距离相等。BDCD（×）1.判断OABED2.思考：如图所示OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,问PE=PD?为什么?CPPD,PE没有垂直O
6、A,OB,它们不是角平分线上任一点到这个角两边的距离,所以不一定相等。∵AD平分∠BAC,DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴=，（）DBDC角平分线上的点到角两边的距离相等。√不必再证全等3.判断4.已知△ABC中,∠C=900,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？ABCDE你会吗？如图，在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；求证：CF=EBACDEBF巩固提高2:如图所示，△ABC中，AB=AC，M为BC中点，MD⊥AB于D
7、，ME⊥AC于E。 求证：MD=ME。∟∟思考：要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺1：20000）ＳＯ公路铁路小结:1：画一个已知角的角平分线；(注意作图痕迹和几何语言的表达)及画一条已知直线的垂线；2：角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．3：角平分线的性质的应用作业：课本第51页习题1245真诚地感谢你们！再见!例已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点P作P
8、D、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上∴PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到边AB、BC、CA的距离相等ABCMNPDEF怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的距离相等．ＡＢＣＤＥＰFGHＢＰ更
