高考数学大二轮复习第1部分专题8选考系列第1讲坐标系与参数方程练习

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1、第一部分专题八第一讲坐标系与参数方程A组1.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴(长度单位与直角坐标系xOy中相同)的极坐标系中,曲线C的方程为ρ=2acosθ(a>0),l与C相切于点P.(1)求C的直角坐标方程;(2)求切点P的极坐标.[解析] (1)l表示过点(3,0)倾斜角为120°的直线,曲线C表示以C′(a,0)为圆心,a为半径的圆.∵l与C相切,∴a=(3-a),⇒a=1.于是曲线C的方程为ρ=2cosθ,∴ρ2=2ρcosθ,于是x2+y2=2x,故所求C的直角坐标方程为x2+y2-2x

2、=0.(2)∵∠POC′=∠OPC′=30°,∴OP=.∴切点P的极坐标为(,).2.已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin-4=0,求圆C的半径.[解析] 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,以极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2+2ρ-4=0,化简,得ρ2+2ρsinθ-2ρcosθ-4=0.则圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y-4=0,即(x-1)2+(y+1)2=6,所以圆C的半径为.3.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C方程为(φ为参数).(1)求过椭圆的右焦点,且与直线m:(t为参数)平行的直线l的

3、普通方程.(2)求椭圆C的内接矩形ABCD面积的最大值.[分析] (1)由直线l与直线m平行可得l的斜率,将椭圆C的方程消参可得普通方程求出焦点坐标(也可直接由参数方程求)可得l方程.(2)用参数方程表示面积转化为三角函数最值求解.[解析] (1)由C的参数方程可知,a=5,b=3,∴c=4,∴右焦点F2(4,0),将直线m的参数方程化为普通方程:x-2y+2=0,所以k=,于是所求直线方程为x-2y-4=0.(2)由椭圆的对称性,取椭圆在第一象限部分(令0≤φ≤),则S=4

4、xy

5、=60sinφcosφ=30sin2φ,∴当2φ=时,Smax=30

6、,即矩形面积的最大值为30.4.(2018·邯郸一模)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρ=2sinθ,ρcos(θ-)=.(1)求C1和C2交点的极坐标;(2)直线l的参数方程为:(t为参数),直线l与x轴的交点为P,且与C1交于A,B两点,求

7、PA

8、+

9、PB

10、.[解析] (1)C1,C2极坐标方程分别为ρ=2sinθ,ρcos(θ-)=,化为直角坐标方程分别为x2+(y-1)2=1,x+y-2=0.得交点坐标为(0,2),(1,1).即C1和C2交点的极坐标分别为(2,),(,

11、).(2)把直线l的参数方程:(t为参数),代入x2+(y-1)2=1,得(-+t)2+(t-1)2=1,即t2-4t+3=0,t1+t2=4,t1t2=3,所以

12、PA

13、+

14、PB

15、=4.B组1.(2017·全国卷Ⅲ,22)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cosθ+sinθ)-=0,M为l3与C的交点,求M的极径.[解析] (1)消去参数t得l1的普通方

16、程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y=(x+2).设P(x,y),由题设得消去k得x2-y2=4(y≠0),所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π),联立得cosθ-sinθ=2(cosθ+sinθ).故tanθ=-,从而cos2θ=,sin2θ=.代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,所以交点M的极径为.2.在平面直角坐示系xOy中,已知曲线C1:(t为参数)与曲线C2:(θ为参数,a>0).(1)若曲线C1与曲线C2有一个公共点

17、在x轴上,求a的值;(2)当a=3时,曲线C1与曲线C2交于A,B两点,求A,B两点的距离.[解析] (1)曲线C1:的普通方程为y=3-2x.曲线C1与x轴的交点为(,0).曲线C2:的普通方程为+=1.曲线C2与x轴的交点为(-a,0),(a,0).由a>0,曲线C1与曲线C2有一个公共点在x轴上,知a=.(2)当a=3时,曲线C2:为圆x2+y2=9.圆心到直线y=3-2x的距离d==.所以A,B两点的距离

18、AB

19、=2=2=.3.(2016·全国卷Ⅰ,23)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴

20、正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.(Ⅰ)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程

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