2.1.2指数函数及其性质（三）

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1、指数函数引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…….1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系是什么？分裂次数：1，2，3，4，…，x细胞个数：2，4，8，16，…，y由上面的对应关系可知，函数关系是.引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为在,中指数x是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量.我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.指数函数的定义：函数叫做指数函数，其中x

2、是自变量，函数定义域是R。探究1：为什么要规定a>0,且a1呢？①若a=0，则当x>0时，=0；0时，无意义.当x②若a<0，则对于x的某些数值，可使无意义.如，这时对于x=，x=……等等，在实数范围内函数值不存在.③若a=1，则对于任何xR，=1，是一个常量，没有研究的必要性.为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a1。在规定以后，对于任何xR，都有意义，且>0.因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+∞).探究2：函数是指数函数吗？指数函数的解析式y=中，的系数是1.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如(

3、a>0且a1，kZ)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如因为它可以化为指数函数的图象和性质：在同一坐标系中分别作出如下函数的图像：列表如下：x…-3-2-1-0.500.5123……0.130.250.50.7111.4248……8421.410.710.50.250.13…x…-2.5-2-1-0.500.5122.5……0.060.10.30.611.73915.6……15.6931.710.60.30.10.06…x…-3-2-1-0.500.5123……0.130.250.50.7111.4248

4、……8421.410.710.50.250.13…x…-2.5-2-1-0.500.5122.5……0.060.10.30.611.73915.6……15.6931.710.60.30.10.06…()()()的图象和性质：a>10

5、分析：通过恰当假设，将剩留量y表示成经过年数x的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求。解：设这种物质量初的质量是1，经过x年，剩留量是y。经过1年，剩留量经过2年，剩留量……一般地，经过x年，剩留量根据这个函数可以列表如下：x0123456y10.840.710.590.500.420.35用描点法画出指数函数的图象:从图上看出y=0.5只需x≈4.答：约经过4年，剩留量是原来的一半。例2比较下列各题中两个值的大小：①，解①：利用函数单调性与的底数是1.7，它们可以看成函数y=因为1.7>1，所以函数y=在R

6、上是增函数，而2.5<3，所以，<；当x=2.5和3时的函数值；②，解②：利用函数单调性与的底数是0.8，它们可以看成函数y=当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为0<0.8<1，所以函数y=在R是减函数，而-0.1>-0.2，所以，<③，解③：根据指数函数的性质，得且>从而有a>10

7、数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较.练习：⑴比较大小：,解：因为利用函数单调性练习：⑵已知下列不等式，试比较m、n的大小：⑶比较下列各数的大小：小结：函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。1.指数函数的定义：a>10