2019届高三数学备考冲刺140分问题35圆锥曲线中的最值、范围问题（含解析）

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1、问题35圆锥曲线中的最值、范围问题一、考情分析与圆锥曲线有关的范围、最值问题,各种题型都有,既有对圆锥曲线的性质、曲线与方程关系的研究,又对最值范围问题有所青睐,它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,紧紧抓住圆锥曲线的定义进行转化,充分展现数形结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用．二、经验分享1.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(

2、4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．2.处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．三、知识拓展1.已知P是椭圆C：一点，F是该椭圆焦点，则；2.已知P是双曲线C：一点，F是该椭圆焦点，则；双曲线C的焦点弦

3、的最小值为.四、题型分析(一)利用圆锥曲线定义求最值借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理．【例1】已知是椭圆内的两个点,是椭圆上的动点,求的最大值和最小值．【分析】很容易想到联系三角形边的关系,无论三点是否共线,总有,故取不到等号,利用椭圆定义合理转化可以起到柳暗花明又一村的作用．【解析】由已知得是椭圆的右焦点,设左焦点为根据椭圆定义得,因为,所以,故的最小值和最大值分别为和.【点评】涉及到椭圆焦点的题目,应想到椭圆定义转化条件,使得复杂问题简单化．【小试牛刀】【山东省济宁市2019届高三第一次模拟】已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为4，渐

4、近线方程为，点N在圆上，则的最小值为()A．B．5C．6D．7【答案】B【解析】由题意可得2a＝4，即a＝2，渐近线方程为y＝±x，即有，即b＝1，可得双曲线方程为y2＝1，焦点为F1（，0），F2，（，0），由双曲线的定义可得

5、MF1

6、＝2a+

7、MF2

8、＝4+

9、MF2

10、，由圆x2+y2﹣4y＝0可得圆心C（0，2），半径r＝2，

11、MN

12、+

13、MF1

14、＝4+

15、MN

16、+

17、MF2

18、，连接CF2，交双曲线于M，圆于N，可得

19、MN

20、+

21、MF2

22、取得最小值，且为

23、CF2

24、3，则则

25、MN

26、+

27、MF1

28、的最小值为4+3﹣2＝5．故选：B．(二)单变量最值问题转化为函数最值建立目标函数求解圆锥曲

29、线的范围、最值问题,是常规方法,关键是选择恰当的变量为自变量．【例2】已知椭圆C：的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线与以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆的方程.（2）设为椭圆上一点,若过点的直线与椭圆相交于不同的两点和,且满足(O为坐标原点),求实数的取值范围.【分析】（1）由题意可得圆的方程为,圆心到直线的距离；根据椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,b=c,代入*式得,即可得到所求椭圆方程；（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在,设直线方程为,设,将直线方程代入椭圆方程得：,根据得到；设,应用韦达定理.讨论当k=

30、0,的情况,确定的不等式.【解析】（1）由题意：以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为,∴圆心到直线的距离*∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,b=c,代入*式得∴故所求椭圆方程为（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在,设直线方程为,设将直线方程代入椭圆方程得：∴∴设,则………………8分当k=0时,直线l的方程为y=0,此时t=0,成立,故,t=0符合题意.当时得∴将上式代入椭圆方程得：整理得：由知所以【点评】确定椭圆方程需要两个独立条件,从题中挖掘关于的等量关系；直线和椭圆的位置关系问题,往往要善于利用韦达定理设而不求,利用点在椭圆上和向量式得,

31、进而求函数值域．【小试牛刀】【吉林省吉林市2018届高三第三次调研】已知椭圆的离心率是，且椭圆经过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线：与圆相切：（ⅰ）求圆的标准方程；（ⅱ）若直线过定点，与椭圆交于不同的两点，与圆交于不同的两点，求的取值范围．【解析】(1)椭圆经过点，，解得，，解得∴椭圆的标准方程为(2)(i)圆的标准方程为,圆心为，∵直线：与圆相切，∴圆的半径, ∴圆的标准方程为．（ⅱ）由题可得直线的斜率存在, 设,由消去整理得，∵直线与椭圆交于不同的两点，∴，解得．设, 则∴ ，又