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《2019届高三数学备考冲刺140分问题22数列与不等式的相结合问题（含解析）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、问题22数列与不等式的相结合问题一、考情分析数列与不等式的交汇题,是高考数学的常见题型.对数列不等式综合题的解答,往往要求能够熟练应用相关的基础知识和基本技能,同时还应具备比较娴熟的代数变换技能和技巧.近年数列与不等式交汇题考查点：1．以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇.2．以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇,还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识等,深度考查不等式的证明(主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法)和逻辑推理能力及
2、分类讨论、化归的数学思想,试题新颖别致,难度相对较大.3．将数列与不等式的交汇渗透于递推数列及抽象数列中进行考查,主要考查转化及方程的思想.数列求和是历年高考命题的热点,可以以客观题形式考查,也可以以解答题形式考查数列,公式求和、裂项求和、错位相减法求和是常考问题.二、经验分享常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关,其基本结构形式有如下4种：①形如（为常数）；②形如；③形如；④形如（为常数）.依据---不等式的性质：（1）不等式的传递性：若,则（此性质为放缩法的基础,即若要证明,但无法直接证明,则
3、可寻找一个中间量,使得,从而将问题转化为只需证明即可）（2）等量加不等量为不等量：若,则,此性质可推广到多项求和：若,则:（3）若需要用到乘法,则对应性质为：若,则,此性质也可推广到多项连乘,但要求涉及的不等式两侧均为正数常用的放缩手段：增加（或减少）某些项；增大分子（或减小分母）；增大（或减小）被开方数；利用二项式定理；利用基本不等式；利用函数的单调性.常用的放缩技巧：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：①等差数列求和公式：,（关于的一次函数或常值函数）②等比数列求和公式：,（关于的指数类函数
4、）③错位相减：通项公式为“等差等比”的形式④裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差,且原数列的每一项裂项之后正负能够相消,进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：①在数列中,“求和看通项”,所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手②在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向,这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③在放缩时,对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢,常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢.④若放缩后求和发现放“过”了,即与所证矛盾,
5、通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动,其余项放缩.从而减小放缩的程度,使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩,重新进行设计,选择放缩程度更小的方式再进行尝试.（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：①裂项相消：在放缩时,所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点,即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）②等比数列：所面对的问题通常为“常数”的形式,所构造的等比数列的公比也要满足,如果题目条件无法体现出放缩的目标,则可从所证不等式的常数入手,,常数
6、可视为的形式,然后猜想构造出等比数列的首项与公比,进而得出等比数列的通项公式,再与原通项公式进行比较,看不等号的方向是否符合条件即可.例如常数,即可猜想该等比数列的首项为,公比为,即通项公式为.注：此方法会存在风险,所猜出的等比数列未必能达到放缩效果,所以是否选择利用等比数列进行放缩,受数列通项公式的结构影响（4）与数列中的项相关的不等式问题：①此类问题往往从递推公式入手,若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形②在有些关于项的不等式证明中,可向求和问题进行划归,即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累
7、乘”的形式,即或（累乘时要求不等式两侧均为正数）,然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为,另一侧为求和的结果,进而完成证明三、知识拓展常见的放缩变形：（1）,其中：可称为“进可攻,退可守”,可依照所证不等式不等号的方向进行选择.注：对于,可联想到平方差公式,从而在分母添加一个常数,即可放缩为符合裂项相消特征的数列,例如：,这种放缩的尺度要小于（1）中的式子.此外还可以构造放缩程度更小的,如：（2）,从而有：注：对于还可放缩为：（3）分子分母同加常数：此结论容易记混,通常在解题时,这种方法作为一种思考的
8、方向,到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系.（4）可推广为：同类放缩常见的有：（1）或（2）；（3）或；（4）或（平方型、立方型、根式型都可放缩为裂项相消模型）（5）或、（指数型可放缩为等比模型）（6）；（7）；（8）（奇偶型放缩为可求积）.补充：一般地,形如或(这里)的数列,在证明（为常数）时都可以提取出利用指数函数的单调性将其放缩为等比模型.四、题型分析(一)最值问题求解数列中的某些最值问题,有时须结合不等式来解决,其具体解法有：（1）建立目标函数,通过不
