《1.不等式的基本性质》教学案2

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1、《不等式的基本性质》教学案教学目标：1.掌握作差比较大小的方法，并能证明一些不等式.2.掌握不等式的性质，掌握它们的证明方法及其功能，能简单运用.3.提高逻辑推理和分类讨论的能力；培养条理思维的习惯和认真严谨的学习态度.教学重点：作差比较大小的方法；不等式的性质.教学难点：不等式的性质的运用.教学过程：问题情境：现有A、B、C、D四个长方体容器，A、B容器的底面积为a2，高分别为a、b，C、D容器的底面积为b2，高分别为a、b，其中a≠b.甲先从四个容器中取两个容器盛水，乙用剩下的两个容器盛水.问如果你是甲，

2、是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多？分析：依题意可知：A、B、C、D四个容器的容积分别为a3、a2b、ab2、b3，甲有6种取法.问题可以转化为比较容器两两和的大小.研究比较大小的依据：ABx我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的.在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.在右图中，点A表示实数a，点B表示实数b，点A在点B右边，那么a＞b.而a－b表示a减去b所得的差，由于a＞b，则差是一个正数，即a－b＞0.命题：“若a＞b，则a－b＞0”成立；逆命题“若a－b＞0，则a＞b”也正

3、确.类似地：若a＜b，则a－b＜0；若a＝b，则a－b＝0.逆命题也都正确.结论：(1)“a＞b”“a－b＞0”(2)“a＝b”“a－b＝0”(3)“a＜b”“a－b＜0”——以上三条即为比较大小的依据：“作差比较法”.正负数运算性质：(1)正数加正数是正数；(2)正数乘正数是正数；(3)正数乘负数是负数；(4)负数乘负数是正数.研究不等式的性质：性质1：若a＞b，b＞c，则a＞c(不等式的传递性)证明：∵a＞b∴a－b＞0∵b＞c∴b－c＞0∴(a－b)＋(b－c)＝a－c＞0(正负数运算性质)则a＞c反思

4、：证明要求步步有据.性质2：若a＞b，则a＋c＞b＋c(不等式的加法性质)证明：∵a＞b∴a－b＞0∵(a＋c)－(b＋c)＝a－b＞0∴a＋c＞b＋c反思：作差比较法的第一次运用，虽然简单，也要让学生好好体会体会.思考：逆命题“若a＋c＞b＋c，则a＞b”成立吗？——两边加“－c”即可证明.[例1]求证：若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d(同向不等式相加性质)证明1：∵a＞b∴a＋c＞b＋c(性质2)∵c＞d∴b＋c＞b＋d(性质2)则a＋c＞b＋d(性质1)证明2：∵a＞b∴a－b＞0∵c＞d∴c－d＞0

5、∴(a－b)＋(c－d)＞0即(a＋c)－(b＋d)＞0(作差比较法)则a＋c＞b＋d反思：你更喜欢哪种方法？为什么？(精彩回答：我都喜欢，如同自己的一对双胞胎.)练习：求证：若a＞b，c＜d，则a－c＞b－d(异向不等式相减性质)——作业证明1：∵c＜d∴c－d＜0得d－c＞0即－c＞－d(正数得相反数为负数)亦可由c＜d两边同加－(c＋d)，直接推出－c＞－d(性质2)∵a＞b∴a＋(－c)＞b＋(－d)(同向不等式相加性质)则a－c＞b－d(加减法运算法则)证明2：∵a＞b∴a－b＞0∵c＜d∴d－c＞

6、0∴(a－c)－(b－d)＝(a－b)＋(d－c)＞0(作差比较法)则a－c＞b－d性质3：若a＞b，c＞0，则ac＞bc若a＞b，c＜0，则ac＜bc(不等式的乘法性质)证明：ac－bc＝(a－b)c(作差比较法)∵a＞b∴a－b＞0(1)当c＞0时，(a－b)c＞0，得ac＞bc(正负数运算性质)(2)当c＜0时，(a－b)c＜0，得ac＜bc(正负数运算性质)反思：等式两边同乘一个数，等式永远成立.但不等式的情况完全不同！——强调！思考：(1)“若a＞b，则ac2＞bc2”成立吗？——不成立！反例：c＝

7、0时不成立.(2)“若ac2＞bc2，则a＞b”成立吗？——成立！隐含c2＞0.练习1.求证：若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd(同向不等式相乘性质)证明：∵a＞b，c＞0∴ac＞bc(性质3)∵c＞d，b＞0∴bc＞bd(性质3)则ac＞bd(性质1)特例：当a＝c且b＝d时，有“若a＞b＞0，则a2＞b2”推而广之：若a＞b＞0，则an＞bn(n∈N*)(不等式的乘方性质)推而广之：若a＞b＞0，则＞(n∈N*，n＞1)(不等式的开方性质)——可用反证法进行证明.2.求证：若a＞b＞0，则0＜＜(不等

8、式的倒数性质)——作业证明：∵a＞b＞0∴＞0，＞0，a－b＞0∴－＝＞0(正负数运算性质)则0＜＜[例2]比较(a＋1)2与a2－a＋1的值的大小.解：(a＋1)2－(a2－a＋1)＝3a(1)当a＜0时，(a＋1)2＜a2－a＋1(2)当a＝0时，(a＋1)2＝a2－a＋1(3)当a＞0时，(a＋1)2＞a2－a＋1反思：(1)比较大小时，等与不等一定要分开讨论！——强调！(2)分类讨论时，要做