数学科普资料：阿基米德与圆周长圆面积

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1、实用文案阿基米德与圆周长圆面积BillCasselman关键词： 阿基米德定理，欧几里得几何，圆面积，直角三角形面积，正多边形阿基米德的论文《圆的测定》虽然常被引用，但我估计很少有人真正阅读过。今天人们最熟悉的莫过于用足够多边数的正多边形去逼近圆周率π的方法，以及为此而发展出来的递归法。递归法曾世界流传，在人们熟悉用级数表示π之前，这是人们用来计算圆周率的唯一有效方法。阿基米德的程序与常见描述并不完全一致。就我所知，用现代语言对此最好的介绍是π unleashed一书[2]。然而，阿基米德的论文有许多细微之处似乎还未获得广泛的理解。原因之一在于

2、他的算法是在古希腊通用的笨拙系统中完成的，该系统包含了来自古埃及奇怪的分数处理方法[i]。另一导致阿基米德的论文难读的原因是当时没有代数学为其所用。这一点已经引起了许多注解，但在本专题中我将讨论更为基本的数学问题。阿基米德定理的内容阿基米德的论文由两部分组成。第一部分是圆面积与其周长之间关系的论断及其证明。在第二部分中作者应用前一部分证明过程中所奠定的技术来逼近圆周率。虽然第二部分内容最引人关注，但我将只考虑第一部分的内容。我们现有的《圆的测定》版本中，开篇断言：任意圆的面积，与两条直角边长分别为该圆半径和周长的直角三角形的面积相等。粗略地说，

3、该定理成立是因为我们可以将圆与三角形都分别剖分为面积很接近的小区域。标准文档实用文案现存版本中，该定理的证明紧随其论断之后。下面我将概述其证明，略加解释，并再附一些图片。其基本思路几乎与证明欧几里得XII.2[ii]相同。按照现代语言，欧几里得XII.2称圆面积正比于其半径的平方。在欧几里得的证明中，圆面积的上、下界分别为边数渐增的外切、内接正多边形的面积，而阿基米德的证明中，圆周长也有类似的上下界。阿基米德与欧几里得的证明有所重叠并不奇怪，因为欧几里得XII.2是阿基米德定理的直接推论。定理的论述本身也是有趣的。用代数语言来描述，圆面积为πr

4、2，圆周长为2πr。这与阿基米德所称一致：πr2=12⋅r⋅2πr.但是古希腊人没有代数学，也没有我们现在所用的实数概念。对欧几里得而言，π没有任何意义。事实上，阿基米德的一个创新即在于其与现代想法很接近的思想。注意到希腊人用量之比，他们的所有“公式”都是如此，总是断言两个面积相等。一个典型的例子是，他们不说平行四边形的面积等于底乘高，而是说平行四边形与同底等高的矩形有相同的面积。阿基米德的论证与其它应用穷竭法的论证思路相同，即展开一个可能无穷的过程，直到某些事情发生而终止。（穷竭法来自希腊，但这个术语是几百年之后的欧洲人提出来的。）阿基米德将

5、此技术的发明权含蓄地归功于他似乎唯一尊敬的前辈——欧克多斯(Eudoxus)。一般认为欧克多斯创造了一种极其复杂的方式，依此而使得欧几里得能证明可能涉及不可比数[iii]的结果。穷竭法和“比”的理论是古希腊数学中两个最微妙的部分。好几个世纪里，它们是古希腊数学严密性的试金石。但应用它们却相当困难，因为一般而言每一个问题都需要不同的处理技巧。虽然复杂，希腊人的这套绝技一直独霸到十九世纪初期，直到柯西引入他的代数不等式开启现代数学推理的新时代。阿基米德定理的证明设C为一圆，T为一三角形，其高为圆半径、底为圆周长。如同所有的穷竭法一样，接下来的证明也

6、分为两部分。首先证明C的面积不可能大于T的面积，然后再证明它又不可能小于三角形面积。因此余下来的可能性只能是两者相等。标准文档实用文案第一部分将证明圆的面积不比三角形的面积大。下面的论证中我们需要三个断言，其证明将延后给出。断言1：任何圆内接多边形的面积小于C的面积。以如下方式定义Π4,Π8等一系列圆内接多边形：Π4为圆内接正方形，Π8为平分Π4各边对应弧所得的圆内接正八边形，一般地，Π2n为将Πn各对应弧平分所得的边数为2n的圆内接正多边形。由断言1知Πn的面积比C的面积小。设δn=C的面积−Πn的面积>0.在上图中，δn即红色部分的面积。我

7、们还要用到断言2：δ2n<δn/2，以及断言3：任何圆内接正多边形的面积小于前面定义的三角形T的面积。这一点稍难证明。因为圆内接正多边形和三角形T都可被细分，如下图情形，断言3源于以下两个事实：·弧长PBQ大于线段PAQ，·线段OA短于OB。其中第二条得自欧几里得III.2，即线段PQ位于圆内。第一条虽然从图观察很明显，但是我们将看到要相信我们之所见还有些问题。我们先假设这三条断言为真。我们使用反证法，即假设C的面积大于T的面积：d=C的面积−T的面积>0.标准文档实用文案根据阿基米德原理（即欧几里得X.1），由断言2我们可取充分大的n使得δn

8、