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1、实用标准文案《函数与导数》解题方法总结教案解题策略1.讨论函数的性质时,必须坚持定义域优先的原则.对于函数实际应用问题,注意挖掘隐含在实际中的条件,避免忽略实际意义对定义域的影响.2.运用函数的性质解题时,注意数形结合,扬长避短.3.对于含参数的函数,研究其性质时,一般要对参数进行分类讨论,全面考虑.如对含参数的二次函数问题,应分a=0和a≠0两种情况讨论,指、对数函数的底数含有字母参数a时,需按a>1和0<a<1分两种情况讨论.4.解答函数性质有关的综合问题时,注意等价转化思想的运用.5.在理解极值概念时要注意以下几点:①极值点是
2、区间内部的点,不会是端点;②若在(a,b)内有极值,那么在(a,b)绝不是单调函数;③极大值与极小值没有必然的大小关系;④一般的情况,当函数在[a,b]上连续且有有限个极值点时,函数在[a,b]内的极大值点和极小值点是交替出现的;⑤导数为0的点是该点为极值点的必要条件,不是充分条件(对于可导函数而言).而充分条件是导数值在极值点两侧异号.6.求函数的最值可分为以下几步:①求出可疑点,即=0的解x0;②用极值的方法确定极值;③将(a,b)内的极值与,比较,其中最大的为最大值,最小的为最小值;当在(a,b)内只有一个可疑点时,若在这一点处有
3、极大(小)值,则可以确定在该点处了取到最大(小)值.7.利用求导方法讨论函数的单调性,要注意以下几方面:①>0是递增的充分条件而非必要条件(<0亦是如此);②求单调区间时,首先要确定定义域;然后再根据>0(或<0)解出在定义域内相应的x的范围;③在证明不等式时,首先要构造函数和确定定义域,其次运用求导的方法来证明.8.函数、导数的综合问题往往以压轴题的形式出现,解决这类问题要注意:(1)综合运用所学的数学思想方法来分析解决问题;(2)及时地进行思维的转换,将问题等价转化;(3)不等式证明的方法多,应注意恰当运用,特别要注意放缩法的灵活
4、运用;(4)要利用导数这一工具来解决函数的单调性与最值问题.典型例题考点一.函数的解析式、定义域、值域求法例1、函数的定义域为A. B. C. D.解:由.故选C例2、用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,设=min{,x+2,10-x}(x0),则的最大值为(A)4(B)5(C)6(D)7【解析】:利用数形结合,画出函数的大致图象,如图所示,文档实用标准文案很容易的得到函数的最大值是当时,的最大值为6考点二.函数的零点例1、函数的零点个数为()A.0B.1C.2D.3解:当时,令解得;当时,令解得,所以选C
5、。【方法总结】:求函数的零点:①(代数法)求方程的实数根;②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.例2、设a为常数,试讨论方程的实根的个数。解:原方程等价于即构造函数和,作出它们的图像,易知平行于x轴的直线与抛物线的交点情况可得:①当或时,原方程有一解;②当时,原方程有两解;③当或时,原方程无解。【方法总结】:图象法求函数零点,考查学生的数形结合思想。数形结合,要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计,而且还要计算的邻近两个函数值,通过比较其大小进行判断。例3、已知a是实数,函数,如
6、果函数在区间[-1,1]上有零点,求实数a的取值范围。解:当a=0时,函数为=2x-3,其零点x=不在区间[-1,1]上。当a≠0时,函数在区间[-1,1]分为两种情况:①函数在区间[─1,1]上只有一个零点,此时或解得1≤a≤5或a=②函数在区间[─1,1]上有两个零点,此时或解得a5或a<文档实用标准文案综上所述,如果函数在区间[─1,1]上有零点,那么实数a的取值范围为(-∞,]∪[1,+∞)【方法总结】:函数零点(即方程的根)的应用问题,即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题,解决该类问题关键是用函数方程思想或数形结合思
7、想,构建关于参数的方程或不等式求解.对于二次函数f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)在实数集R上恒成立问题可利用判别式直接求解,即f(x)>0恒成立;f(x)<0恒成立.若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.考点三.函数的单调性、奇偶性和周期性例1、已知定义在R上的奇函数,满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则解:因为定义在R上的奇函数,满足,所以,所以,由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为
8、在区间[0,2]上是增函数,所以在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程=m(m>0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以答案:-8【方法总结】:本题综合考查了函数的奇偶性,