数据标准化方法.doc

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1、数据标准化方法问题1：将一个人的体重和身高相加在一起有无什么意义？答：量纲（就是单位）不同的量相加是没有意义的。不加处理就将两个不同量纲的量相加这是数学建模的大忌！问题2：如何将一个人的体重G和身高H这两个指标综合为一个指标用以评价一个人身材？答：通常考虑加法模型和乘法模型。乘法模型在这里不太适合，故考虑加法模型，一般采用加权组合的方式，即，这里，但是这样就犯了一个严重的错误。因此需要先对进行预处理→无量纲化，也就是数据标准化方法。数据标准化方法主要有以下三种：（1）规范化方法对序列进行变换：则新序列且无量纲。一般的数据需要时都可以考虑先进行规范化处理。（2）正规化方法对序列进行变换：，

2、这里，则新序列的均值为0，而方差为1，且无量纲。（3）归一化方法对正项序列进行变换：则新序列且无量纲，并且显然有。归一化方法在确定权重时经常用到。针对实际情况，也可能有其他一些量化方法，或者要综合使用多种方法，总之最后的结果都是无量纲化。例1：DVD分发问题中满意度的量化现有20种DVD要分发给100个会员，规定如果要向某人发放DVD，则一次发给3张，问如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？DVD编号D001D002D003D004D005D006……DVD现有数量812210840……会员偏好C0001002000……C0002109007……C0003060007……

3、C0004000040……C0005500004……………注：表中的数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的订单中。解：我们考虑三种方法进行变换，然后对它们进行比较。（1）利用公式（2）利用公式（3）利用模糊数学中的隶属函数的概念，选取合适的函数，对满意度进行量化，这里为待定常数令代入可得。三种量化方法的比较：结论：方法1可行；方法2不太可取；方法3可行。注意：无论采用哪一种方法，对每一个会员的满度度均需要作归一化处理，使得每一个会员对选中的DVD的满意度之和等于1，（算出的每人的满意度或综合满意度都应该介于0-1之间）。例2：长江水质的定量综合评价（2005

4、年赛题）下表是《地表水环境质量标准》，给出了水质类别的分类标准。序号 分类       标准值 项目Ⅰ类Ⅱ类Ⅲ类Ⅳ类Ⅴ类劣Ⅴ类1溶解氧(DO)    ≥7.5（或饱和率90%）653202高锰酸盐指数(CODMn)≤2461015∞3氨氮（NH3-N   ≤0.150.51.01.52.0∞4PH值（无量纲）6---9下表给出了17个观测点的水质情况。序号点位名称断面情况主要监测项目(单位:mg/L)水质类别pH*DOCODMnNH3-N本月1四川攀枝花干流7.6 6.8 0.2 0.1 II 2重庆朱沱 干流（川-渝省界） 7.63 8.41 2.8 0.34 II 3湖北宜昌南津关 

5、干流（三峡水库出口） 7.07 7.81 5.8 0.55 III 4湖南岳阳城陵矶 干流 7.58 6.47 2.9 0.34 II 5江西九江河西水厂 干流（鄂-赣省界） 7.34 6.19 1.7 0.13 II 6安徽安庆皖河口 干流 7.52 6.54 3.2 0.22 II 7江苏南京林山 干流（皖-苏省界） 7.78 6.9 3.1 0.11 II 8四川乐山岷江大桥 岷江（与大渡河汇合前） 7.66 4.2 5.8 0.53 IV 9四川宜宾凉姜沟 岷江（入长江前） 8.01 7.63 2.4 0.25 II 10四川泸州沱江二桥 沱江（入长江前） 7.63 4.02 3

6、.6 1.06 IV 11湖北丹江口胡家岭 丹江口水库（库体） 8.63 10.2 1.8 0.1 I 12湖南长沙新港 湘江（洞庭湖入口） 7.42 6.45 4.3 0.99 III 13湖南岳阳岳阳楼 洞庭湖出口 7.73 6.26 1.4 0.21 II 14湖北武汉宗关 汉江（入长江前） 8 6.43 2.4 0.17 II 15江西南昌滁槎 赣江（鄱阳湖入口） 6.64 5.18 1.1 0.92 III 16江西九江蛤蟆石 鄱阳湖出口 7.28 6.87 2.7 0.15 II 17江苏扬州三江营 夹江（南水北调取水口） 7.29 6.9 1.6 0.15 II 分析水质的

7、类别的确定可知：它是由首要污染物决定的。请根据以上数据对长江当前的水质情况做出定量的综合评价。解：1、数据的标准化处理溶解氧是极大型指标（指标越大，水质越好），PH值是居中型指标，其余两种是极小型指标，统一进行极小型处理。（1）溶解氧：（共有17个观测点）（2）PH值：然后对进行规范化处理，即：得到规范化矩阵，这里且无量纲。2、确定四种指标的权重（变权函数的确定）原则是能有效的区分六类水。权重矩阵3、综合评价指标4、评价结果对比与排