教学插件5:最优控制模型(DP 连续模型):(动态优化模型: 2010-08-28 武大研究生).doc

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1、645六、最优控制模型:(动态优化模型,DP――Dynamicalprogramming)Ⅰ.最速升降问题(或登月飞船软着陆问题)u(t)M问题:①设有一个物体M(例如:直升飞机、升降机、电梯)作垂直升降运动(设物体M的质量为m);②M内部装有一个控制器,产生一个控制作用力g(时间的函数),用以控制M的上下运动,由x(t)于作用力大小有限,故满足一个约束不等式:x问题:是要寻找一个合适的作用力的变化规律,使得最快的速度达到地点,而且:已知elevation的初始状态在时,M离开地面的高度为的垂直运动速度为。解:物体M应满足的运动规律(即与时间

2、变量有关的动态过程),因此,为描述物体运动的状态,令::为物体M离开地面的高度(时刻):为物体M在时刻的速度于是物体在时的运动状态可描述成为:状态方程:同时应满足初始状态:           路径条件(终值状态):控制约束:  目标函数:寻找一个(闭的函数类),使你所用的总时间最短,即使        取最小值或:寻求一个,使得:或:寻求一个,使得:或者说:在容许控制的函数类中,找一个控制函数,使状态从初始状态转移到终端状态(目标集:)(此问题中),  而且使所用的时间最短,即:,如果满足上述条件的是存在的,则说是该系统的最优控制(或极值控

3、制),而把对应的状态叫做该系统的最优轨线(或极值轨线(,)叫最优对,叫最优性能指标。注意:1.上述的极值问题,求,函数的定义域是函数类,因此是泛函。因此,求,使是求泛函的极值问题,故最优控制问题也称为泛函极值问题,所以常用的方法即变分法、极大值原理、动态规划等。注意:Ⅱ性能指标(或目标泛函)的不同提法:按照系统设计者不同着眼点来考虑给出:一般形式为:例如:上述同一个问题可解释为:登月飞船的软着陆问题:问题:登月飞船着陆问题:fM+F=mM设①飞船自重,所带燃料为,即月球(飞船自重)月球重力加速度为;g②飞船登陆月球时要先靠发动机产生一个与月球

4、重力方向相反的推力所产生的加速度实现软着陆(即登上月球时的速度为零)问题:是如何选择最好的发动机推力程序,使燃料消耗最少。解:约束条件及假设同升降机问题,即设于是为约束方程:状态方程:初始状态:终端状态:目标集S控制约束:控制力受一定限制。问题是:寻求一个合适的控制函数(从而设计出推进力的程序),使所消耗的燃料最少(即最多能带多少燃料)。即:Ⅱ. 生产―库存―销售最优管理问题:问题:生产量  库存量  销售量要保持在一个合理的水平上,即最优管理问题,即如何组织或控制生产量,使库存量与销售量保持平衡。分析:库存量大则1.积压资金周转;2.库存费

5、,损耗大。   库存量小则1.使商品脱销失去多获得利润的机会;          2.用户因不能按合同提货,则厂方产品有被退货的风险,同样有失去市场和赚钱的机会。量化::表示在时刻的实际库存量;      :表示在时刻的实际生产速度(生产率);    :表示在时刻的实际销售速度(销售率);于是有以下条件来描述该系统的情况:状态方程:     初态: 终态: 未知约束:决策目标:(指标泛函)有两种提法:(i)求管理中的最优生产率――控制变量(决策变量),使生产费用和储存费用之总和最小。生产费用:与生产率,时间有关,故记作:;库存费用:与库存量,

6、时间有关,故记作:;于是最优管理问题:是求最优的生产率使总费用最小,.即求:  使得:  s.t. 上述约束。(ii)求管理中的最优生产率――控制变量(决策变量),使:生产率尽可能接近理想的生产率由生产能力  库存量尽可能接近理想的库存量 和经验数据测定理想水平是一个理想的平衡状态:如有干扰(扰动或条件变化),例如,市场销售量的突然变化破坏了这种平衡,则应尽快通过控制变量(调整生产率),使该系统回到理想的平衡状态,此时的目标泛函应为:最小,为常数。即求:,使s.t.上述约束:Remark:(评注)上述最优控制的离散模型:求,使得s.t.一般最

7、优控制问题也可分为:线性、非线性、连续和离散型。最优控制模型问题的数学描述――最优控制模型。寻找(开,闭)可以固定或自由,使得:            其中:  ,且(一阶连续可微),,:向量值函数,且对连续,对连续可微。

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