教学插件5：最优控制模型(DP 连续模型)：（动态优化模型： 2010-08-28 武大研究生）.doc

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1、645六、最优控制模型：（动态优化模型，DP――Dynamicalprogramming）Ⅰ.最速升降问题（或登月飞船软着陆问题）u(t)M问题：①设有一个物体M（例如：直升飞机、升降机、电梯）作垂直升降运动（设物体M的质量为m）；②M内部装有一个控制器，产生一个控制作用力g（时间的函数），用以控制M的上下运动，由x(t)于作用力大小有限，故满足一个约束不等式：x问题：是要寻找一个合适的作用力的变化规律，使得最快的速度达到地点，而且：已知elevation的初始状态在时，M离开地面的高度为的垂直运动速度为。解：物体M应满足的运动规律（即与时间

2、变量有关的动态过程），因此，为描述物体运动的状态，令：：为物体M离开地面的高度（时刻）：为物体M在时刻的速度于是物体在时的运动状态可描述成为：状态方程：同时应满足初始状态：　　　　　　　　　　　路径条件(终值状态)：控制约束：　　目标函数：寻找一个(闭的函数类)，使你所用的总时间最短，即使　　　　　　　　取最小值或：寻求一个，使得：或：寻求一个，使得：或者说：在容许控制的函数类中，找一个控制函数，使状态从初始状态转移到终端状态(目标集：)(此问题中)，　　而且使所用的时间最短，即：，如果满足上述条件的是存在的，则说是该系统的最优控制(或极值控

3、制)，而把对应的状态叫做该系统的最优轨线(或极值轨线(，)叫最优对，叫最优性能指标。注意：1.上述的极值问题，求，函数的定义域是函数类，因此是泛函。因此，求，使是求泛函的极值问题，故最优控制问题也称为泛函极值问题，所以常用的方法即变分法、极大值原理、动态规划等。注意：Ⅱ性能指标(或目标泛函)的不同提法：按照系统设计者不同着眼点来考虑给出：一般形式为：例如：上述同一个问题可解释为：登月飞船的软着陆问题：问题：登月飞船着陆问题：fM+F=mM设①飞船自重，所带燃料为，即月球(飞船自重)月球重力加速度为；g②飞船登陆月球时要先靠发动机产生一个与月球

4、重力方向相反的推力所产生的加速度实现软着陆（即登上月球时的速度为零）问题：是如何选择最好的发动机推力程序，使燃料消耗最少。解：约束条件及假设同升降机问题，即设于是为约束方程：状态方程：初始状态：终端状态：目标集S控制约束：控制力受一定限制。问题是：寻求一个合适的控制函数（从而设计出推进力的程序），使所消耗的燃料最少（即最多能带多少燃料）。即：Ⅱ.　生产―库存―销售最优管理问题：问题：生产量　　库存量　　销售量要保持在一个合理的水平上，即最优管理问题，即如何组织或控制生产量，使库存量与销售量保持平衡。分析：库存量大则1.积压资金周转；2.库存费

5、，损耗大。　　　库存量小则1.使商品脱销失去多获得利润的机会；　　　　　　　　　　2.用户因不能按合同提货，则厂方产品有被退货的风险，同样有失去市场和赚钱的机会。量化：：表示在时刻的实际库存量；　　　　　　：表示在时刻的实际生产速度（生产率）；　　　　：表示在时刻的实际销售速度（销售率）；于是有以下条件来描述该系统的情况：状态方程：　　　　　初态：　终态：　未知约束：决策目标：（指标泛函）有两种提法：（i）求管理中的最优生产率――控制变量（决策变量），使生产费用和储存费用之总和最小。生产费用：与生产率，时间有关，故记作：；库存费用：与库存量，

6、时间有关，故记作：；于是最优管理问题：是求最优的生产率使总费用最小，.即求：　　使得：　　s.t.　上述约束。（ii）求管理中的最优生产率――控制变量（决策变量），使：生产率尽可能接近理想的生产率由生产能力　　库存量尽可能接近理想的库存量　和经验数据测定理想水平是一个理想的平衡状态：如有干扰（扰动或条件变化），例如，市场销售量的突然变化破坏了这种平衡，则应尽快通过控制变量（调整生产率），使该系统回到理想的平衡状态，此时的目标泛函应为：最小，为常数。即求：，使s.t.上述约束：Remark：（评注）上述最优控制的离散模型：求，使得s.t.一般最

7、优控制问题也可分为：线性、非线性、连续和离散型。最优控制模型问题的数学描述――最优控制模型。寻找（开，闭）可以固定或自由，使得：　　　　　　　　　　　　其中：　　，且（一阶连续可微），，：向量值函数，且对连续，对连续可微。