第23讲 最大公因数,和最小公倍数

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1、小学数学竞赛专题讲座第23讲最大公因数和最小公倍数【探究必备】几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。求几个数的最大公因数通常用短除法，即用几个数公有质因数连续去除，一直除到商里没有共同的质因数为止。几个数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。求最小公倍数，可以从小到大一次列举，也可以用短除法。短除法的一般步骤：1.找出两个数的最小公因数（除1外），列短除式，用最小公因数去除这两个数，得到两个商。2.找出两个商的最小公因数，用最小公因数去除两个商，得到新一级的两个商。3.以此类推，直到二商为

2、互质数为止。4.把所有的公因数和最后的商乘起来，所得的积就是这两个数的最小公倍数。【王牌例题】例1、一根铁丝长42厘米，一根铜丝长56厘米，现在要把它们截成同样长的小段，并且没有剩余，每段最长多少厘米？一共可以截成几段？分析与解答：要把它们截成同样长的小段并且没有剩余，说明每段的长度既能整除42，又能整除56，也就是说是这两个数的公因数，要使每段最长，就是公因数中最大的一个，即这两个数的最大公因数，42和56的最大公因数是14，所以每段最长是14厘米，那么铁丝可截42÷14=3（段），铜丝可截56÷14=4（段），因此一共可以截成3+4=7（段）。例2、一个

3、新建的教室长9.6米，宽7.8米，现在要用一种地板方砖铺地面，不用切割，刚好用整数块。铺这个教室至少要用多少块地板方砖？小学数学竞赛专题讲座分析与解答：先把9.6米和7.8米化成以分米做单位的数，即9.6米=96分米，7.8米=78分米。要使铺的地板方砖最少，那么方砖的面积要最大，也就是说方砖的边长要最大，根据用一种地板方砖铺地面，不用切割，刚好用整数块，可知方砖的边长既能整除96，又能整除78，即是这两个数的公因数，要使边长最大，就是这两个数的最大公因数，因为96和78的最大公因数是6，所以这种方砖的边长是6（分米），那么方砖的面积为6×6=36（平方分米

4、），因此铺这个教室至少要用96×78÷36=208（块）地板方砖。例3、学期末，端木老师买了18支铅笔和25本硬皮抄作为奖品，平均奖给班级“三好学生”。结果铅笔剩下2支，硬皮抄剩下1本，这个班“三好学生”最多有多少名？分析与解答：根据铅笔剩下2支，硬皮抄剩下1本，可知给这个班的“三好学生”分了铅笔18-2=16（支），硬皮抄25-1=24（本），平均奖给班级“三好学生”说明每个“三好学生”得到的铅笔数相同，得到的硬皮抄的本数也相同，即该班“三好学生”既是16的因数，又是24的因数，也就是说是这两个数的公因数，要使这个班“三好学生”最多，就是这两个数的最大公因

5、数，因为16和24的最大公因数是8，所以这个班“三好学生”最多有8名。例4、盘子里有一些圣女果，不论是8人平均分，还是10人平均分都刚好分完。盘子里最小有多少个圣女果？分析与解答：根据“不论是8人平均分，还是10人平均分都刚好分完。”可知，盘子里的圣女果的个数既能被8整除，又能被10整除，即是8和10的公倍数，问盘子里最小有多少个圣女果，是求8和10的最小公倍数，由于8和10的最小公倍数是40，因此盘子里最小有40个圣女果。例5、暑假时，王米、张咪和李一三位同学每人隔不同的天数到三联书店看书，王米隔2天去一次，张咪隔3天去一次，李一隔4天去一次。某日他们三人

6、一起到书店，至少再隔几天，他们三人又在三联书店相遇？分析与解答：由王米隔2天去一次，张咪隔3天去一次，李一隔4天去一次，某日他们三人一起到书店，至少再隔几天，他们三人又在三联书店相遇，可知他们三人去的天数既能被2整除，也能被3整除，还能被4整除，也就是说他们去的天数既是2的倍数，也是3的倍数，还是4的倍数，即是2、3、4的公倍数，要至少多少天，就是求2、3、4的最小公倍数，因为2、3、4的最小公倍数是12，所以至少再隔12天他们三人又在三联书店相遇。小学数学竞赛专题讲座例6、小米的妈妈买了一箱柚子，小米3个3个数余下1个，4个4个数余下1个，5个5个数还是余

7、下1个，这箱柚子最少有几个？分析与解答：根据题意可知，如果从箱子里取出1个，那么这箱柚子3个3个数，4个4个数，5个5个数都刚好数完，也就是说能同时被3、4、5整除，即是3、4、5公倍数，要使这箱柚子最少，那么就是3、4、5的最小公倍数，由于3、4、5的最小公倍数60，所以这箱柚子最少有60+1=61（个）。【同步练习】1.一个数既能整除45，又能整除60，这个数可能是多少？其中最大的是多少？2.六年级72名女生，96名男生站队做操，每队中男生与女生的人数分别相等。最多站多少队？3.一根铁丝长42厘米，另一根铁丝长63厘米，现在要把它们都截成同样长的小段，并

8、且没有剩余，每段最长多少厘米？一共可以截成几段？4.