2020版高考数学复习计数原理、概率、随机变量及其分布第2讲排列与组合讲义理（含解析）

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1、第2讲　排列与组合[考纲解读]　理解排列组合的概念及排列数与组合数公式，并能用其解决一些简单的实际问题．(重点)[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点命题方向.预测2020年将会考查：①有条件限制的排列组合问题；②排列组合与其他知识的综合问题.试题以客观题的形式呈现，难度不大，属中、低档题型.1．排列与组合的概念2．排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用表示．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合

2、数，用表示．3．排列数、组合数的公式及性质4．常用结论(1)①A＝(n－m＋1)A；②A＝A；③A＝nA.(2)①nA＝A－A；②A＝A＋mA.(3)1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n！＝(n＋1)！－1.(4)①C＝C；②C＝C；③C＝C.(5)①kC＝nC；②C＋C＋C＋…＋C＝C.1．概念辨析(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　)(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．(　　)(3)从2,4,6,8任取两个数，分别作对数“log□□”的底数、真数，有多少个不同的对数值？此题属于排列问题．(　　)(4)甲、乙、丙、丁四个好朋友相互发微信，共有多少条微信？此题属于组合

3、问题．(　　)(5)若组合式C＝C，则x＝m成立．(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．小题热身(1)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言(　　)A．1560条B．780条C．1600条D．800条答案　A解析　由题意，得毕业留言共A＝1560条．(2)从6名男生和2名女生中选出3名，其中至少有1名女生的选法共有________种．答案　36解析　分两类：第1类是有1名女生，共有C·C＝2×15＝30种；第2类是有2名女生，共有C·C＝1×6＝6种．由分类加法计数原理得，共有30

4、＋6＝36种．(3)有大小和形状完全相同的3个红色小球和5个白色小球，将它们排成一排，共有________种不同的排列方法．答案　56解析　8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题．这样共有C＝56种排法．(4)从6本不同的书中选出4本，分别发给4个同学，已知其中两本书不能发给甲同学，则不同分配方法有________种．答案　240解析　因为其中两本书不能发给甲同学，所以甲只能从剩下的4本中分一本，然后再选3本分给3个同学，故有A·A＝240种．题型　排列问题7位同学站成一排：(1)其中甲

5、站在中间的位置，共有多少种不同的排法？(2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(3)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？(4)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？(5)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？(6)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？(7)甲总在乙的前面的排法有多少种？解　(1)其中甲站在中间的位置，共有A＝720种不同的排法．(2)甲、乙只能站在两端的排法共有AA＝240种．(3)7位同学站成一排，共有A种不同的排法；甲排头，共有A种不同的排法；乙排尾，共有A种不同的排法；甲排头且乙排尾，共有A种不同的排法；故共有A－2A＋A＝3720种不同的排

6、法．(4)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有A种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A种方法，所以这样的排法一共有AA＝1440种．(5)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有：解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A种方法，所以这样的排法一共有AAA＝960种方法．解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共

7、有6个元素．若丙站在排头或排尾有2A种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有(A－2A)·A＝960种方法．解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有A种方法．再将其余的5个元素进行全排列共有A种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有AAA＝960种方法．(6)甲、乙两同学不能相邻的排法共有：解法一：(间接法