2020版高考数学一轮复习第7章立体几何第6讲空间向量及运算讲义理（含解析）

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1、第6讲　空间向量及运算[考纲解读]　1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义．2.能应用空间两点间的距离公式，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，并能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．(重点、难点)[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲一直是空间立体几何的基础，一般不单独命题．预测2020年会与多面体相结合进行考查，题型为解答题，解题时利用空间向量法解决问题，试题难度不会太大，属中档题型.1．空间两点间的距离公式、中

2、点公式(1)距离公式①设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则

3、AB

4、＝.②设点P(x，y，z)，则与坐标原点O之间的距离为

5、OP

6、＝.(2)中点公式设点P(x，y，z)为P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的中点，则.2．空间向量的数量积a·b＝

7、a

8、

9、b

10、cos〈a，b〉．3．空间向量的坐标运算a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)(a，b均为非零向量)：1．概念辨析(1)两向量夹角的范围与两异面直线所成的角的范围相同．(　　)(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(　　)(3)若{a，b，c}

11、是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．(　　)(4)对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面．(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．小题热身(1)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)A．－a＋b＋cB．a＋b＋cC．－a－b＋cD．a－b＋c答案　A解析　由题意，根据向量运算的几何运算法则，＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b

12、＋c.故选A.(2)若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是(　　)A．a，a＋b，a－bB．b，a＋b，a－bC．c，a＋b，a－bD．a＋b，a－b，a＋2b答案　C解析　A，B，D中三组向量都是共面向量，不能构成基底，c，a＋b，a－b不共面可以构成基底．(3)已知向量a＝(2，－3,5)，b＝，且a∥b，则λ等于________．答案　－解析　因为a∥b，所以＝＝，所以λ＝－.(4)已知a＝(1,2，－2)，b＝(0,2,4)，则a，b夹角的余弦值为________．答案　－解析　cos〈a，b〉＝＝－.题型　空间向量的

13、线性运算如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3)＋.解　(1)∵P是C1D1的中点，∴＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋c＋b.(2)∵N是BC的中点，∴＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.(3)∵M是AA1的中点，∴＝＋＝＋＝－a＋a＋c＋b＝a＋b＋c，又＝＋＝＋＝＋＝c＋a.∴＋＝＋＝a＋b＋c.条件探究　在举例说明条件下，若＝，＝2，试用a，b，c表示.解　如图，连接AF，则＝＋.由已知四边形ABCD是平行四边形，故

14、＝＋＝b＋c，＝＋＝－a＋c.又＝－＝－(b＋c)，由已知＝2，所以＝＋＝－＝－＝c－(c－a)＝(a＋2c)，所以＝＋＝－(b＋c)＋(a＋2c)＝(a－b＋c)．用已知向量表示某一向量的注意事项(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解和运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义．向量加法的多边形法则对空间向量仍然成立．(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．提醒：灵活运用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1

15、．如图所示，在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．答案　a＋b＋c解析　因为D为BC的中点，所以＝(＋)＝(b＋c)，又因为E为AD的中点，所以＝(＋)＝＝a＋b＋c.2．如图所示，已知P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，点M在线段PC上，点N在线段PD上，且PM＝2MC，PN＝ND，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.答案　－解析　＝－＝－＝(－)－(＋)＝－＋－(＋)＝－－＋，所以x＋y＋z＝－－＋＝－.题型　共线向量与共面向量定理的应用1．(2018·

16、郑州调研)已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,