2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第3讲圆的方程讲义理(含解析)

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1、第3讲 圆的方程[考纲解读] 1.掌握确定圆的几何要素,圆的标准方程与一般方程,能根据不同的条件,采取标准式或一般式求圆的方程.(重点)2.掌握点与圆的位置关系,能求解与圆有关的轨迹方程.(难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲为高考中的热点.预测2020年将会考查:①求圆的方程;②根据圆的方程求最值;③与圆有关的轨迹问题.试题以客观题的形式呈现,难度不会太大,以中档题型呈现.1.圆的定义及方程2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0,y0)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2之间存在着

2、下列关系:设d为点M(x0,y0)与圆心(a,b)的距离(1)d>r⇔M在圆外,即(x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔M在圆外;(2)d=r⇔M在圆上,即(x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔M在圆上;(3)d

3、)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.(  )(4)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF>0.(  )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√                   2.小题热身(1)若方程x2+y2+mx-2y+3=0表示圆,则m的取值范围是(  )A.(-∞,-)∪(,+∞)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.(-∞,-)∪(,+∞)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)答案 B解析 若方程x2+y2+mx-2

4、y+3=0表示圆,则m应满足m2+(-2)2-4×3>0,解得m<-2或m>2.(2)圆C的直径的两个端点分别是A(-1,2),B(1,4),则圆C的标准方程为________.答案 x2+(y-3)2=2解析 设圆心C的坐标为(a,b),则a==0,b==3,故圆心C(0,3).半径r=

5、AB

6、==.所以圆C的标准方程为x2+(y-3)2=2.(3)若原点在圆(x-2m)2+(y-m)2=5的内部,则实数m的取值范围是________.答案 (-1,1)解析 因为原点在圆(x-2m)2+(y-m)

7、2=5的内部,所以(0-2m)2+(0-m)2<5.解得-1

8、x-2

9、≤2.解得0≤x≤4.所以3x2+4y2=3x2+4[4-(x-2)2]=-x2+16x=-(x-8)2+64.所以当x=4时,3x2+4y2取得最大值48.题型 求圆的方程1.(2018·天津高考)在平面直角坐标系中,经过三点(0,

10、0),(1,1),(2,0)的圆的方程为________.答案 x2+y2-2x=0解析 解法一:设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,又因为圆经过三点(0,0),(1,1),(2,0),所以解得D=-2,E=0,F=0,所以圆的方程为x2+y2-2x=0.解法二:记O(0,0),A(1,1),B(2,0),线段OB的垂直平分线方程为x=1,线段OA的垂直平分线方程为y-=-,即x+y-1=0.解方程得圆心坐标为(1,0).所以半径r=1,圆的方程为(x-1)2+y2=1.解法三:在平面直

11、角坐标系中,画出圆上的三点,另证这三个点构成直角三角形,显然圆心坐标为(1,0),半径为1,所以圆的标准方程为(x-1)2+y2=1.2.一圆经过A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距的和为2,求此圆的方程.解 设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).令y=0,得x2+Dx+F=0,所以x1+x2=-D.令x=0,得y2+Ey+F=0,所以y1+y2=-E.由题意知-D-E=2,即D+E+2=0.①又因为圆过点A,B,所以16+4+4D+2E+F=

12、0.②1+9-D+3E+F=0.③解①②③组成的方程组得D=-2,E=0,F=-12.故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0.条件探究1 把举例说明1三点坐标改为“(1,3),(4,2),(1,-7)”,求此圆的方程.解 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则解得∴圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.条件探究2 把举例说明2条件“在两坐标轴上的四个截距的和为2”改为“在x轴截得的弦长等于2”,其他条件不变,求此圆的方程.解 设所求圆的方程为x2+y

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