2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第3讲圆的方程讲义理（含解析）

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1、第3讲　圆的方程[考纲解读]　1.掌握确定圆的几何要素，圆的标准方程与一般方程，能根据不同的条件，采取标准式或一般式求圆的方程．(重点)2.掌握点与圆的位置关系，能求解与圆有关的轨迹方程．(难点)[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲为高考中的热点．预测2020年将会考查：①求圆的方程；②根据圆的方程求最值；③与圆有关的轨迹问题．试题以客观题的形式呈现，难度不会太大，以中档题型呈现.1．圆的定义及方程2．点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着

2、下列关系：设d为点M(x0，y0)与圆心(a，b)的距离(1)d>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；(2)d＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)d

3、)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(　　)(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.(　　)答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．小题热身(1)若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是(　　)A．(－∞，－)∪(，＋∞)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－∞，－)∪(，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案　B解析　若方程x2＋y2＋mx－2

4、y＋3＝0表示圆，则m应满足m2＋(－2)2－4×3>0，解得m<－2或m>2.(2)圆C的直径的两个端点分别是A(－1,2)，B(1,4)，则圆C的标准方程为________．答案　x2＋(y－3)2＝2解析　设圆心C的坐标为(a，b)，则a＝＝0，b＝＝3，故圆心C(0,3)．半径r＝

5、AB

6、＝＝.所以圆C的标准方程为x2＋(y－3)2＝2.(3)若原点在圆(x－2m)2＋(y－m)2＝5的内部，则实数m的取值范围是________．答案　(－1,1)解析　因为原点在圆(x－2m)2＋(y－m)

7、2＝5的内部，所以(0－2m)2＋(0－m)2<5.解得－1

8、x－2

9、≤2.解得0≤x≤4.所以3x2＋4y2＝3x2＋4[4－(x－2)2]＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64.所以当x＝4时，3x2＋4y2取得最大值48.题型　求圆的方程1．(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,

10、0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．答案　x2＋y2－2x＝0解析　解法一：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，又因为圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，所以解得D＝－2，E＝0，F＝0，所以圆的方程为x2＋y2－2x＝0.解法二：记O(0,0)，A(1,1)，B(2,0)，线段OB的垂直平分线方程为x＝1，线段OA的垂直平分线方程为y－＝－，即x＋y－1＝0.解方程得圆心坐标为(1,0)．所以半径r＝1，圆的方程为(x－1)2＋y2＝1.解法三：在平面直

11、角坐标系中，画出圆上的三点，另证这三个点构成直角三角形，显然圆心坐标为(1,0)，半径为1，所以圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1.2．一圆经过A(4,2)，B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．解　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以x1＋x2＝－D.令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以y1＋y2＝－E.由题意知－D－E＝2，即D＋E＋2＝0.①又因为圆过点A，B，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝

12、0.②1＋9－D＋3E＋F＝0.③解①②③组成的方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.条件探究1　把举例说明1三点坐标改为“(1,3)，(4,2)，(1，－7)”，求此圆的方程．解　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得∴圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.条件探究2　把举例说明2条件“在两坐标轴上的四个截距的和为2”改为“在x轴截得的弦长等于2”，其他条件不变，求此圆的方程．解　设所求圆的方程为x2＋y