2019年高中数学第4章点数统计案例4.1_4.2随机对照试验案例事件的独立性讲义（含解析）湘教版

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1、4．1&4.2随机对照试验案例事件的独立性[读教材·填要点]1．随机对照试验随机选取试验组和对照组是安排试验的基本原则．我们称随机选取试验组的对照实验为随机对照实验，把对照组中的处理方法称为使用安慰剂．2．事件A，B的独立当事件的全集Ω1和Ω2独立，对于A⊆Ω1和B⊆Ω2，有P(A∩B)＝P(A)P(B)，则称事件A，B独立．3．事件A1，A2，…，An相互独立如果试验的全集Ω1，Ω2，…，Ωn是相互独立的，则对A1⊆Ω1，A2⊆Ω2，…，An⊆Ωn有P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)P(A2)·…·P(An)．[小问题·大思维]1．两个事件相互独立与互斥有什么区别？提示：两个事件相互独

2、立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，而相互独立的两个事件是可以同时发生的，相互独立事件和互斥事件之间没有联系．2．公式P(AB)＝P(A)P(B)使用的前提条件是什么？提示：P(AB)＝P(A)P(B)使用的前提条件是事件A与事件B相互独立，同样的，只有当A1，A2，…，An相互独立时，这几个事件同时发生的概率才等于每个事件发生的概率之积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)·…·P(An)．事件独立性的判断假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，

3、讨论A与B的独立性：(1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩．[自主解答]　(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知概率各为.这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A，B不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女

4、)，(女，女，男)，(女，女，女)}，由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，显然有P(AB)＝＝P(A)P(B)成立．从而事件A与B是相互独立的．(1)判断两个事件A，B相互独立，其依据为P(AB)＝P(A)P(B)，这是利用定量计算的方法，较准确，因此我们必须熟练掌握．(2)判断两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，也就是看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响；没有影响就是相互独立事件，否则就不是相互独立事件．1．把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，判断

5、下列各组事件是否是独立事件？(1)A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出奇数点}；(2)A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出3的倍数点}；(3)A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出的点数小于4}．解：(1)∵P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝0，∴A与B不是相互独立事件．(2)∵P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，∴P(AB)＝P(A)·P(B)，∴A与B是相互独立事件．(3)∵P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，∴P(AB)≠P(A)·P(B)，∴A与B不是相互独立事件.求相互独立事件同时发生的概率根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6,购买甲、乙保险相互独立，各车

6、主间相互独立．(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率．[自主解答]　记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A与B，A与，与B，与都是相互独立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6.(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，则C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.5×0.6＝0.3.(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则D＝B，所以P(D)＝P(B)＝P()·P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3.本例中车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少？解：法一

7、：记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”，则事件E包括B，A，AB，且它们彼此为互斥事件．所以P(E)＝P(B＋A＋AB)＝P(B)＋P(A)＋P(AB)　＝0.5×0.6＋0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.8.法二：事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件．所以P(E)＝1－P(AB)＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8.求相互独立事件同时发生的概率