2019年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2双曲线2.2.1双曲线的定义与标准方程讲义（含解析）湘教版

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1、2．2.1　双曲线的定义与标准方程[读教材·填要点]1．双曲线的定义平面上到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为大于0的定值(小于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b2[小问题·大思维]1．双曲线的定义中，为什么要规定定值小于

4、F1F2

5、？若定值等于

6、F1F2

7、

8、或等于0或大于

9、F1F2

10、，点的轨迹又是怎样的曲线？提示：(1)如果定义中定值改为等于

11、F1F2

12、，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)．(2)如果定义中定值为0，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．(3)如果定义中定值改为大于

13、F1F2

14、，此时动点轨迹不存在．2．在双曲线的定义中，如果将“差的绝对值”改为“差”，那么点的轨迹还是双曲线吗？提示：不是．是双曲线的一支．3．若方程－＝1表示双曲线，m，n应满足什么条件？提示：若方程－＝1表示双曲线，则m·n>0.双曲线定义的应用在△ABC中，已知

15、AB

16、＝4，且三内角A，B，

17、C满足sinB－sinA＝sinC，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程，并指明表示什么曲线．[自主解答]　如图所示，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则A(－2，0)，B(2，0)．由正弦定理得sinA＝，sinB＝，sinC＝.∵sinB－sinA＝sinC，∴b－a＝.从而有

18、CA

19、－

20、CB

21、＝

22、AB

23、＝2＜

24、AB

25、.由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支．∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6.∴顶点C的轨迹方程为－＝1(x＞)．故C点的轨迹为双曲线的右支且除去点(，0)．解答此类问题要注意定义中的两个

26、关键性条件：(1)差的绝对值是定值，(2)常数大于0小于两定点间的距离．同时具备这两个条件才是双曲线．1．已知F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且

27、PF1

28、·

29、PF2

30、＝32.试求△F1PF2的面积．解：因为P是双曲线左支上的点，所以

31、PF2

32、－

33、PF1

34、＝6，两边平方得

35、PF1

36、2＋

37、PF2

38、2－2

39、PF1

40、·

41、PF2

42、＝36，所以

43、PF1

44、2＋

45、PF2

46、2＝36＋2

47、PF1

48、·

49、PF2

50、＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝＝0，所以∠F1PF2＝90°，所以S△F1P

51、F2＝

52、PF1

53、·

54、PF2

55、＝×32＝16.求双曲线的标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上；(2)过点P，Q且焦点在坐标轴上．[自主解答]　(1)∵焦点在x轴上，c＝，∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴－＝1.∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线方程是－y2＝1.(2)设双曲线的标准方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，∵双曲线过P，Q，∴解得∴所求双曲线方程为－＝1.1．双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写

56、出双曲线的标准方程．(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．2．求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．2．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a＝4，经过点A；(2)经过点(3,0)，(－6，－3)．解：(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝－×<0

57、，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9，∴所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，∴解得∴所求双曲线的标准方程为－＝1.双曲线的定义及标准方程的应用设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若

58、PF1

59、∶

60、PF2

61、＝3∶2，则△PF1F2的面积为(　　)A．6　　　　　　　　B．12C．12D．24[自主解答]　如图所示，∵

62、PF1

63、－

64、PF2

65、＝2a＝2，且

66、PF1

67、∶

68、PF2

69、＝3

70、∶2，∴

71、PF1

72、＝6，

73、PF2

74、＝4.又∵

75、F1F2

76、＝2c＝2，∴

77、PF1

78、2＋

79、PF2

80、2＝

81、F1F2

82、2，∴S△PF1F2＝

83、P