2020版高考数学复习三角函数、解三角形第5讲简单的三角恒等变换（第2课时）讲义理（含解析）

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1、第2课时　简单的三角恒等变换题型　三角函数式的化简与证明1．化简：(0<θ<π)．解　由θ∈(0，π)，得0<<，∴cos>0，∴＝＝2cos.又(1＋sinθ＋cosθ)＝＝2cos＝－2coscosθ，故原式＝＝－cosθ.2．证明：cosθ－cosφ＝－2sinsin.证明　因为θ＝＋，φ＝－，所以cosθ－cosφ＝cos－cos＝coscos－sinsin－coscos－sin·sin＝－2sinsin.1．三角函数式的化简遵循的三个原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式．(2

2、)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”．(3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等．2．三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立.1.＋2的化简结果为________．答案　－2sin4解析　原式＝＋2＝2

3、cos4

4、＋2

5、sin4－cos4

6、，因为<4<，所

7、以cos4<0，且sin4

8、a－b

9、＝(　　)A.B.C.D．1答案　B解析　根据题设条件，可知O，A，B三点共线，从而得到b＝2a，因为cos2α＝2cos2α－

10、1＝2·2－1＝，解得a2＝，即

11、a

12、＝，所以

13、a－b

14、＝

15、a－2a

16、＝.故选B.2.若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)A.B.C.或D.或答案　A解析　∵α∈，∴2α∈，∵sin2α＝，∴2α∈.∴α∈且cos2α＝－，又∵sin(β－α)＝，β∈，∴β－α∈，cos(β－α)＝－，∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos2α－sin(β－α)sin2α＝×－×＝，又α＋β∈，∴α＋β＝.3.(2018·太原质检)[2sin50°＋sin10°(1＋tan10°)]·＝______

17、__.答案　解析　因为＝sin80°＝cos10°，所以原式＝[2sin(60°－10°)cos10°＋sin10°(cos10°＋sin10°)]＝＝(cos210°＋sin210°)＝×＝.1.三角函数给角求值问题的解题策略一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题，另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值．2．三角函数给值求角问题的解题策略对于给值求角问题，通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数．

18、(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正弦或余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为，选正弦函数较好.1.已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>2)的两根分别为tanα，tanβ，且α，β∈，则α＋β＝________.答案　－解析　由根与系数的关系且a>2得，tanα＋tanβ＝－3a<0，tanαtanβ＝3a＋1>0.所以tanα<0，tanβ<0.又α，β∈，则α，β∈，于是α＋β∈(－π，0)，tan(α＋β)＝＝＝1，又α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－.2.计算：cos20°cos40

19、°cos60°cos80°＝________.答案　解析　原式＝cos20°cos40°cos80°＝＝＝＝.题型　三角恒等变换的综合应用角度1　研究三角函数的图象变换问题1.(2019·湖南四校联考)函数y＝sinx－cosx的图象可由函数y＝sinx＋cosx的图象至少向右平移的单位长度是(　　)A.B.C.D.答案　B解析　因为y＝sinx－cosx＝2sin＝2sin，y＝sinx＋cosx＝2sin，所以函数y＝sinx＋cosx的图象至少向右平移个单位长度才能得到函数y＝sinx－cosx的图象.角度2　研究三角函数的性质问题2.(201

20、8·北京高考)已知函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)