2019届高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第5讲简单的三角恒等变换学案

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1、2019版高考数学一轮复习全册学案第5讲　简单的三角恒等变换板块一　知识梳理·自主学习[必备知识]考点1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式162019版高考数学一轮复习全册学案考点2　二倍角的正弦、余弦、正切公式公式名公式二倍角的正弦sin2α＝2sinαcosα二倍角的余弦cos2α＝cos2α－sin2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1二倍角的正切tan2α＝[必会结论]1．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.3．公式变形：tan

2、α±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanα·tanβ)．4．辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝.[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　　)(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(　　)(3)在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不确定．(　　)(4)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(　　)(5)存在角α，使得si

3、n2α＝2sinα成立．(　　)答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√2．[2018·江西九江模拟]计算sin－cos的值为(　　)A．0B．－C．2D.答案　B解析　sin－cos＝2＝2sin＝2sin＝－.故选B.3．[2017·山东高考]已知cosx＝，则cos2x＝(　　)A．－B.C．－D.答案　D解析　cos2x＝2cos2x－1＝2×2－1＝.故选D.4．[2018·山西四校联考]已知sin＝，－＜α＜0，则cos的值是(　　)162019版高考数学一轮复习全册学案A.B.C．－D

4、．1答案　C解析　由已知得cosα＝，sinα＝－，cos＝cosα＋sinα＝－.5．[2017·江苏高考]若tan＝，则tanα＝________.答案　解析　∵tan＝＝＝，∴6tanα－6＝1＋tanα(tanα≠－1)，∴tanα＝.tanα＝tan＝＝＝.6．[2017·全国卷Ⅱ]函数f(x)＝2cosx＋sinx的最大值为________．答案　解析　f(x)＝2cosx＋sinx＝，设sinα＝，cosα＝，则f(x)＝sin(x＋α)，∴函数f(x)＝2cosx＋sinx的最大值为.板块二　典例

5、探究·考向突破考向　三角函数的化简求值例　1　(1)[2018·衡水中学二调]－＝(　　)A．4B．2C．－2D．－4答案　D解析　－＝－＝＝＝＝－4.162019版高考数学一轮复习全册学案(2)4cos50°－tan40°＝(　　)A.B.C.D．2－1答案　C解析　4cos50°－tan40°＝＝＝＝＝＝.触类旁通三角函数式化简的常用方法(1)异角化同角：善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数．(2)异名化同名：统一三角函数名称，利用诱导公式切弦互化、二倍角公

6、式等实现名称的统一．(3)异次化同次：统一三角函数的次数，一般利用降幂公式化高次为低次．【变式训练1】　(1)[2018·九江模拟]化简等于(　　)A．－2B．－C．－1D．1答案　C解析　＝＝＝－1.(2)计算：tan20°＋4sin20°＝________.答案　解析　原式＝＋4sin20°＝＝＝＝＝162019版高考数学一轮复习全册学案＝＝.162019版高考数学一轮复习全册学案考向　三角函数的条件求值命题角度1　给值求值问题例　2　(1)[2016·全国卷Ⅱ]若cos＝，则sin2α＝(　　)A.B.C．

7、－D．－答案　D解析　解法一：sin2α＝cos＝cos＝2cos2－1＝2×2－1＝－.故选D.解法二：cos＝(cosα＋sinα)＝⇒cosα＋sinα＝⇒1＋sin2α＝，∴sin2α＝－.故选D.(2)[2017·全国卷Ⅰ]已知α∈，tanα＝2，则cos＝________.答案　解析　cos＝cosαcos＋sinαsin＝(cosα＋sinα)．又由α∈，tanα＝2，知sinα＝，cosα＝，∴cos＝×＝.命题角度2　给值求角问题例　3　(1)[2018·江苏徐州质检]已知cosα＝，cos(α

8、－β)＝，且0<β<α<，求β.解　∵0<β<α<，∴0<α－β<.又∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝＝.∵cosα＝，0<α<，∴sinα＝，162019版高考数学一轮复习全册学案∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.∵0<β<，∴β＝.(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝