勾股定理地应用实例解析汇报

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1、实用标准文案第十一讲 勾股定理与应用时间：2005-9-916:11:00来源：初中数学竞赛作者：佚名在课内我们学过了勾股定理及它的逆定理．　　勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2．　　勾股定理逆定理如果三角形三边长a，b，c有下面关系：a2+b2=c2　　那么这个三角形是直角三角形．　　早在3000年前，我国已有“勾广三，股修四，径阳五”的说法．　　关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的．下面的证法1是欧几里得证法．　　证法1如图

2、2-16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c2，a2，b2．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和．　　过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，　　所以△ACE≌△AGB(SAS)．而　文档实用标准文案　　所以SAEML=b2．①　　同理可证SBLMD=a2．②　　①+②得SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2，　　即c2=a2+b2．　　证法2如图2-17所示

3、．将Rt△ABC的两条直角边CA，CB分别延长到D，F，使AD=a，BF=b．完成正方形CDEF(它的边长为a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，连接AG，GH，HB．由作图易知△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC，　　所以　　AG=GH=HB=AB=c，　　∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°，　　因此，AGHB为边长是c的正方形．显然，正方形CDEF的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)的面积和，即文档实用标

4、准文案　　化简得a2+b2=c2．　　　证法3如图2-18．在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D作DK⊥CB延长线于K，又作AF，DH分别垂直EG于F，H．由作图不难证明，下述各直角三角形均与Rt△ABC全等：△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．　　设五边形ACKDE的面积为S，一方面　　S=SABDE+2S△ABC，①　　另一方面　　S=SACGF+SHGKD+2S△ABC．②　　由①，②文档实用标准文案　　　　所以c2=a2+b2．

5、　　关于勾股定理，在我国古代还有很多类似上述拼图求积的证明方法，我们将在习题中展示其中一小部分，它们都以中国古代数学家的名字命名．　　利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一个更一般的结论．　　定理在三角形中，锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和，减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的2倍．　　证(1)设角C为锐角，如图2-19所示．作AD⊥BC于D，则CD就是AC在BC上的射影．在直角三角形ABD中，　　AB2=AD2+BD2，①　　在直角三角形AC

6、D中，　　AD2=AC2-CD2，②　　又　　BD2=(BC-CD)2，③　　②，③代入①得　　AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)2文档实用标准文案　　　=AC2-CD2+BC2+CD2-2BC·CD　　　=AC2+BC2-2BC·CD，　　即　　c2=a2+b2-2a·CD．④　　(2)设角C为钝角，如图2-20所示．过A作AD与BC延长线垂直于D，则CD就是AC在BC(延长线)上的射影．在直角三角形ABD中，　　AB2=AD2+BD2，⑤　　在直角三角形ACD中，　　AD2=AC2-C

7、D2，⑥　　又　　BD2=(BC+CD)2，⑦　　将⑥，⑦代入⑤得　　AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2　　　=AC2-CD2+BC2+CD2+2BC·CD　　　=AC2+BC2+2BC·CD，　　即　　c2=a2+b2+2a·cd．⑧文档实用标准文案　　综合④，⑧就是我们所需要的结论　　　　特别地，当∠C=90°时，CD=0，上述结论正是勾股定理的表述：c2=a2+b2．　　因此，我们常又称此定理为广勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推广)．　　由广勾股定理我们可以自然地推导出三

8、角形三边关系对于角的影响．在△ABC中，　　(1)若c2=a2+b2，则∠C=90°；　　(2)若c2＜a2+b2，则∠C＜90°；　　(3)若c2＞a2+b2，则∠C＞90°．　　勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用．　　例1如图2-21所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求证：AB2=2FG2．　　分析注意到正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGF是