2020版高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明第5讲数学归纳法讲义理（含解析）

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1、第5讲数学归纳法[考纲解读]1.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题．(重点)2.数学归纳法的主要作用是证明与自然数有关的不等式及数列问题．(难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，对本讲并没有直接涉及，当遇到与正整数n有关的不等式的证明，且其他方法不易证时，可以考虑用数学归纳法进行证明求解.数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：*1．(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N)时命题成立；*012．(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N)时命题成立，证明当n＝□k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可

2、以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，上述证明方法叫做数学归纳法．1．概念辨析(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．()(2)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．()(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．()2n＋2n＋3(4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋2＋…＋2＝2－1”，验证n＝1时，左边式子23应为1＋2＋2＋2.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)下列结论能用数学归纳法证明的是()A．x>sinx，x∈(0，π)xB．e≥x＋1(x∈R)11

3、11n－1*C．1＋＋＋…＋＝2－2(n∈N)2n－1222D．sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(α，β∈R)答案C解析数学归纳法是用来证明与自然数有关的命题的一种方法，由此可知C符合题意．n＋22n＋11－a*(2)用数学归纳法证明1＋a＋a＋…＋a＝(a≠1，n∈N)，在验证n＝1时，等1－a式左边的项是()A．1B．1＋a223C．1＋a＋aD．1＋a＋a＋a答案C2解析验证n＝1时，等式左边的项是1＋a＋a.nn(3)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x＋y能被x＋y整除”，当第二步假设n＝*2k－1(k∈N)命题为真时，进而需证n＝

4、________时，命题亦真．答案2k＋1解析由于步长为2，所以2k－1后一个奇数应为2k＋1.题型一用数学归纳法证明恒等式n设i为虚数单位，n为正整数，θ∈[0,2π)．用数学归纳法证明：(cosθ＋isinθ)＝cosnθ＋isinnθ.证明①当n＝1时，左边＝右边＝cosθ＋isinθ，所以命题成立；②假设当n＝k时，命题成立，即k(cosθ＋isinθ)＝coskθ＋isinkθ，则当n＝k＋1时，k＋1k(cosθ＋isinθ)＝(cosθ＋isinθ)·(cosθ＋isinθ)＝(coskθ＋isinkθ)(cosθ＋isinθ)＝(coskθcos

5、θ－sinkθsinθ)＋i(sinkθcosθ＋coskθsinθ)＝cos(k＋1)θ＋isin(k＋1)θ，所以当n＝k＋1时，命题成立．n综上，由①和②可得，(cosθ＋isinθ)＝cosnθ＋isinnθ.数学归纳法证明等式的思路和注意点(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．(2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．提醒：归纳假设就是证明n＝k＋1时命题成立的

6、条件，必须用上，否则就不是数学归纳法.用数学归纳法证明：22212nnn＋1*＋＋…＋＝(n∈N)．1×33×52n－12n＋122n＋1211证明①当n＝1时，左边＝＝，1×331×1＋11右边＝＝，2×2×1＋13左边＝右边，等式成立．*②假设n＝k(k≥1，k∈N)时，等式成立．22212kkk＋1即＋＋…＋＝，1×33×52k－12k＋122k＋1当n＝k＋1时，222212kk＋1左边＝＋＋…＋＋1×33×52k－12k＋12k＋12k＋32kk＋1k＋1＝＋22k＋12k＋12k＋32kk＋12k＋3＋2k＋1＝22k＋12k＋32k＋12k＋5k＋

7、2k＋1k＋2＝＝，22k＋12k＋322k＋3k＋1k＋1＋1右边＝2[2k＋1＋1]k＋1k＋2＝，22k＋3左边＝右边，等式成立．*由①②知，对n∈N，原等式成立．题型二用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式1111＋1＋1＋2n＋135·…·2n－1>均成立．2证明①当n＝2时，145左边＝1＋＝，右边＝.332∵左边>右边，∴不等式成立．*②假设当n＝k(k≥2，且k∈N)时不等式成立．1111＋1＋1＋2k＋1即35·…·2k－1>.2则当n＝k＋1时，11111＋1＋1＋1＋35·…·2k－1·2k＋1－12k＋12k

8、＋22k＋2>·＝22k