高考数学第2部分专题5解析几何第10讲圆锥曲线中的综合问题学案文

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1、第10讲　圆锥曲线中的综合问题高考统计·定方向热点题型真题统计命题规律题型1：解析几何中的有关证明问题2018全国卷ⅠT20；2018全国卷ⅢT201.重点考查圆锥曲线中的定点、定值问题及最值范围问题.2.一般在20题的位置，难度较大.3.解析几何中有关证明类题目将成为考查的热点趋势.题型2：“构造法”求圆锥曲线中的最值(范围)问题2016全国卷ⅡT21；2015全国卷ⅠT20题型3：“转化法”求圆锥曲线中的定点、定值问题2017全国卷ⅡT20；2017全国卷ⅢT202015全国卷ⅡT20题型4：“肯定顺推法”求圆锥曲线中的探索性问题2016全国卷ⅠT20题型1　解析几何中的有关证

2、明问题圆锥曲线经常和数列、三角函数、平面向量、不等式等知识交汇命制出论证类题目，综合考查学生的应用能力，转化能力及思维的灵活性．本类题型将成为今后热点题型，对培养学生勤于思考严谨的科学态度，推进新课程标准的实施将起到导向作用．■高考考法示例·【例1】　(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m>0)．(1)证明：k<－；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且＋＋＝0.证明：2

3、

4、＝

5、

6、＋

7、

8、.[思路点拨]　(1)→→16(2)＋＋＝0→→→→[证明]　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1.两式

9、相减，并由＝k得＋·k＝0.由题设知＝1，＝m，于是k＝－.由题设得0

10、

11、＝.于是

12、

13、＝＝＝2－.同理

14、

15、＝2－.所以

16、

17、＋

18、

19、＝4－(x1＋x2)＝3.故2

20、

21、＝

22、

23、＋

24、

25、.[方法归纳]　1．圆锥曲线中的证明一般包括两大方面一是位置关系的证明：如证明相切、垂直、过定点等．二是数量关系的证明：如存在定值、恒成立、线段或角相等等

26、．2．处理圆锥曲线中的证明问题常采用直接法证明证明时常借助于等价转化思想，化几何关系为数量关系，然后借助函数方程思想、数形结合思想解决．■对点即时训练·(2018·江南十校高三综合测评)如图255所示，A，B，C，D是抛物线E：x2＝2py(p＞0)上的四点，A，C关于抛物线的对称轴对称且在直线BD的异侧，直线l：x－y－1＝0是抛物线在点C处的切线，BD∥l.16图255(1)求抛物线E的方程；(2)求证：AC平分∠BAD.[解]　(1)联立消去y得x2－2px＋2p＝0.∵因为l与抛物线相切，∴Δ＝4p2－8p＝0，∴p＝2，∴抛物线E的方程为x2＝4y.(2)证明：设点B(x

27、B，yB)，D(xD，yD)，由(1)可得C(2,1)，A(－2,1)．∵直线l∥BD，∴设直线BD的方程为y＝x＋t.由得x2－4x－4t＝0，∴xB＋xD＝4.又∵kAD＋kAB＝＋＝＝0，∴AC平分∠BAD.题型2　“构造法”求圆锥曲线中的最值(范围)问题■核心知识储备·圆锥曲线中的最值范围问题的求解策略一般有以下两种：(1)几何法：若目标函数有明显几何特征和意义，则考虑几何图形的性质求解；(2)代数法：若目标函数的几何意义不明显，利用基本不等式、导数等方法求函数的值域或最值，此时要注意换元法的应用．■高考考法示例·【例2】　(2018·天津七校联考)已知A(0，－2)，椭圆

28、E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．(1)求椭圆的方程；(2)设过点A的动直线l与椭圆E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．16[解]　(1)设F(c,0)，由条件知，＝⇒c＝，又＝⇒a＝2，b2＝2，故椭圆E的方程为＋＝1；(2)当l⊥x轴时，不合题意，故可设l：y＝kx－2，⇒(1＋4k2)x2－16kx＋8＝0，Δ＝16(4k2－1)＞0⇒k2＞，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1＋x2＝，x1x2＝，

29、PQ

30、＝＝又点O到直线l的距离d＝，∴△OPQ的面积S△OPQ＝

31、PQ

32、d＝，设＝t，则t＞

33、0，∴S△OPQ＝＝≤2，当且仅当t＝⇒t＝，即k＝±时等号成立，满足Δ＞0，∴当k＝±时，△OPQ的面积取得最大值2，此时直线l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.[方法归纳]　与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出临界位置后数形结合求解.(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解.(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域.■对点即时训练·(2018·济南模拟)如图