2019届高考数学大二轮复习专题二函数与导数2.3二导数的综合应用练习

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1、2.3（二）导数的综合应用【课时作业】A级1．(2018·昆明市高三摸底调研测试)若函数f(x)＝2x－x2－1，对于任意的x∈Z且x∈(－∞，a)，都有f(x)≤0恒成立，则实数a的取值范围为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．(－∞，－1]B．(－∞，0]C．(－∞，4]D．(－∞，5]解析：　对任意的x∈Z且x∈(－∞，a)，都有f(x)≤0恒成立，可转化为对任意的x∈Z且x∈(－∞，a)，2x≤x2＋1恒成立．令g(x)＝2x，h(x)＝x2＋1，当x<0时，g(x)

2、x)，当x＝2或3或4时，g(x)h(x)．综上，实数a的取值范围为(－∞，5]，故选D.答案：　D2．已知函数y＝f(x)是R上的可导函数，当x≠0时，有f′(x)＋>0，则函数F(x)＝xf(x)＋的零点个数是(　　)A．0B．1C．2D．3解析：　由F(x)＝xf(x)＋＝0，得xf(x)＝－，设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，因为x≠0时，有f′(x)＋>0，所以x≠0时，>0，即当x>0时，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0，此时函数g(x)单调递增，6此时g(x)>g(0)＝0，当x<0时，g′(x

3、)＝f(x)＋xf′(x)<0，此时函数g(x)单调递减，此时g(x)>g(0)＝0，作出函数g(x)和函数y＝－的图象，(直线只代表单调性和取值范围)，由图象可知函数F(x)＝xf(x)＋的零点个数为1个．答案：　B3．定义1：若函数f(x)在区间D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在区间D上也可导，则称函数f(x)在区间D上存在二阶导数，记作f″(x)，即f″(x)＝[f′(x)]′.定义2：若函数f(x)在区间D上的二阶导数恒为正，即f″(x)>0恒成立，则称函数f(x)在区间D上为凹函数．已知函数f(x)＝x3－x2＋1在区间D上为凹函数，则x的取值范围是_

4、_______．解析：　∵f(x)＝x3－x2＋1，∴f′(x)＝3x2－3x，∴f″(x)＝6x－3.令f″(x)>0，即6x－3>0，解得x>.∴x的取值范围是.答案：　4．已知函数f(x)＝，g(x)＝－(x－1)2＋a2，若当x>0时，存在x1，x2∈R，使得f(x2)≤g(x1)成立，则实数a的取值范围是________．解析：　由题意得存在x1，x2∈R，使得f(x2)≤g(x1)成立，等价于f(x)min≤g(x)max.因为g(x)＝－(x－1)2＋a2，x>0，所以当x＝1时，g(x)max＝a2.因为f(x)＝，x>0，所以f′(x)＝＝.所以f(x)在(

5、0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝e.6又g(x)max＝a2，所以a2≥e⇔a≤－或a≥.故实数a的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．答案：　(－∞，－]∪[，＋∞)5．(2018·武汉市武昌区调研考试)已知函数f(x)＝lnx＋，a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a>0时，证明f(x)≥.解析：　(1)f′(x)＝－＝(x>0)．当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当a>0时，若x>a，则f′(x)>0，函数f(x)在(a，＋∞)上单调递增；若0

6、0，a)上单调递减．(2)证明：由(1)知，当a>0时，f(x)min＝f(a)＝lna＋1.要证f(x)≥，只需证lna＋1≥，即证lna＋－1≥0.令函数g(a)＝lna＋－1，则g′(a)＝－＝(a>0)，当01时，g′(a)>0，所以g(a)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．所以g(a)min＝g(1)＝0.所以lna＋－1≥0恒成立，所以f(x)≥.6．(2018·南昌市第一次模拟测试卷)已知函数f(x)＝ex－alnx－e(a∈R)，其中e为自然对数的底数．(1)若f(x)在x＝1处取得极小值，求a的值及函数f(x

7、)的单调区间；(2)若当x∈[1，＋∞)时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．解析：　(1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)．6由f(x)＝ex－alnx－e(a∈R)，得f′(x)＝ex－.由题意可知f′(1)＝0，所以a＝e，所以f′(x)＝ex－＝.令g(x)＝xex－e，则g′(x)＝ex(1＋x)．当x>0时，g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0.所以当x∈(0,1)时，g(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，所以当x∈(0,1)时，f′(x)<0