小升初奥数几何之立体图形.doc

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1、小升初奥数几何之立体图形立体图形一、问题简介小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。因此，要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的表面积、体积计算方法，能将公式作适当的变形，养成“数、形”结合的好习惯，解题时要认真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。下表总结了四大立体图形的相关知识点：二、常见题型和解题方法（一）表面积和体积立体图形表面积、体积的求法有很多种，也比较杂，在这里我们重点介绍四种比较经典和巧妙的方法——拼接

2、法、三视图法、切片法、套模法！其中套模法比较难，在长沙小升初考试中用到的很少，但是在各奥数杯赛中是一种很好解决立体几何难题的方法，所以大家对于这种方法可以有选择的学习！1、拼接法与平面几何中的方法类似，将不规则的图形体积、表面积化作规则的体积进行加减计算的方法，主要适用于立体图形的体积和表面积。例1、如图所示，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米?(π取3．14)例2、如图是一个正方体，它的棱长为4cm，在它的上下、前后、左右的正中位置各挖去

3、一个棱长为1cm的正方体，问：此图的表面积是多少？2、三视图法主要适用于求正方体积木图形的表面积计算，以及染色问题或计数问题，从上、前、做这三个基本视角，分析图形的表面积。例、用棱长是1厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？3、切片法主要适用于求具有穿孔结构或内部结构，并且“孔”之间有重叠的立体图形的体积计算。所谓“切片法”，就是把整个立体图形某个方向切成一片一片的（或一层一层的），然后分别计算每一片或每一层的体积或小正方体数目，化立体为平面，最后再把它们相加。例、一个由125个

4、同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方体中相对的两面打通，下图就是抽空的状态。求图中剩下的小正方体有多少个？4、套模法割补法的引申，分析立体图形的展开图，以最适合该立体图形的基本几何图形为模型，看看它们与基本立体图形相比，缺少了哪些部分，再在该图形上进行切割。这样做基于两点考虑，一是如果有类似的模型，可以直接应用其计算公式；二是如果可以补上一块或者放到某个模型里面，那么可以从这个模型入手。此法可以说是解不规则立体图形最难的方法了，需要非常强的空间想象能力，但是大家也不用恐慌，

5、一般我们是在正方体这个最特殊的基本立体图形上套膜的！例、图中的⑴、⑵、⑶、⑷是同样的小等边三角形，⑸、⑹也是等边三角形且边长为⑴的2倍，⑺、⑻、⑼、⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正方形。那么，以⑸、⑹、⑺、⑻、⑼、⑽、⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴、⑵、⑶、⑷为平面展开图的立体图形体积的几倍？（二）染色计数染色计数问题一直是立体图形的一个考查方面，有时还会结合数论中的最值问题，此时难度就会加大。解决这类问题时要牢牢把握立体图形染色面不同时相应的计算方法，再结合数论知识解决！例1、将边长为10的正方体木块六

6、个面都染上红色后，锯成边长为1的小正方形木块1000块。问：这一千块小正方体木块中，没有涂红色的共有多少块？只有一个面是红色的共有多少块？恰有两个面为红色的共有多少块？恰有三个面为红色的共有多少块？【详解】没涂色的小正方块共有：（10-2）×（10-2）×（10-2）=8×8×8=512块，只有一面涂色的共有：（10-2）×（10-2）×6=8×8×6＝384块；恰有两个面为红色的共有：（10-2）×12=8×12=96块；恰有三个面为红色的共有：18块。例2、有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34

7、个为白色的，30个为黑色的。现将它们拼成一个4×4×4的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？【详解】要使大正方体的表面上白色部分最多，相当于要使大正方体表面上黑色部分最少，那么就要使得黑色小正方体尽量不露出来。在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有：（4-2）×（4-2）×（4-2）=8(个)，用黑色的；在面上但不在边上的小正方体，即只露出一个面的有：（4-2）×（4-2）×6=24(个)，其中：30-8=22（个）用黑色。这样，在表面的：4×4×6=96（个）小正方形中，有22个是

8、黑色，剩下的：96-22=74(个)就是白色。所以在大正方体的表面上白色部分最多可以是74平方厘米。（三）容积这里我们研究的是不规则立体图形里面装了部分液体（未满），求液体体积或者不规则图形的容积这类问题。解题思路是通过已知条件抓住液体与空气的体积比，从而求出液体或不规则图形的容积！例、一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如图所示，已知它的容积为26.4π立方厘米。当瓶子正放时