数理经济学02b.doc

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1、多变量函数微分学变量经济学中的实际问题，往往由许多因素组成。这些因素可分为两类：1)原因因素，数学上称作自变量，经济学上称作外生变量（不可控因素）；2)结果因素，数学上称作因变量，经济学上称作内生变量（可控因素，即模型的解）。函数我们主要研究内生变量与外生变量之间的关系，数学上用因变量与自变量之间的函数关系来描述。单变量函数的微分学及应用经济学中的边际概念定义为一个经济量x在原有值x0的基础上再增加一个单位而导致的另一个经济量f(x)的增量。设y=f(x)是定义在集合S上的一元函数，导数在经济研究中称为边际。利用导数进行经济分析，简称边际分析。例如，需求量Qd=f(p)对价格p的

2、导数称为需求对价格的边际需求量。例如，劳动的边际产量是指再雇用一个单位的劳动所增加的产量。假设生产函数为Q=F(L)，当前劳动为L0个单位，则劳动的边际产量为例如，设生产函数Q=F(L)=L1/2/2，L0=100。F’(L0)=F’(100)=0.025，F(101)-F(100)=0.0249。可见导数F(100)是边际产量F(101)-F(100)的一个很好的近似值Lagrangian中值定理若f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导，则至少存在一个(a，b)使下式成立f(b)-f(a)=(b-a)Taylor中值定理设(a，b)，f(x)在(a，b)内有直到n+1阶

3、的导数，则当(a，b)时，存在在x0与x之间，使得下式成立其中，是的高阶无穷小。单调性、凸凹性、极值f(x)单调的充分条件设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则(1)f(x)在[a，b]上严格单调增加的充分条件是在(a，b)上恒有f’(x)>0；(2)f(x)在[a，b]上严格单调减少的充分条件是在(a，b)上恒有f’(x)<0。f‘(x)单调的充分条件若对任意x1，x2(a，b)，f(x2)(或)f(x1)+f’(x1)(x2-x1)，则f‘(x)在(a，b)内单调增加（减少）。凸凹性定义（1）称函数f(x)在(a，b)上是凸的（或凹的），若对任意[0，1]，

4、对任意x1，x2(a，b)，恒有下式成立f(x1+(1-)x2)(或)f(x1)+(1-)f(x2)（2）若上式中的严格不等式恒成立，则称函数f(x)是(a，b)上的严格凸（或凹）函数。由定义易知，严格凸（或凹）函数一定是凸（或凹）函数。凸凹性判断法判定法之一（利用一阶导数）设函数f(x)在(a，b)上可导，则f(x)在(a，b)内为凸（凹）函数的充要条件是对任意x1，x2(a，b)，f(x2)(或)f(x1)+f’(x1)(x2-x1)，当上面的严格不等式对任意x1，x2(a，b)且x1x2成立时，即为严格凸（或凹）函数的充要条件。判定法之二（利用二阶导数）若函数f(x)在(a

5、，b)上是二阶连续可微的，则f(x)是(a，b)上的凸（或凹）函数的充要条件是对任意x(a，b)有f‘’(x)0(或f’’(x)0)，而f(x)是(a，b)上的严格凸（或凹）函数的充分条件是上面的严格不等式成立。极值的必要条件设函数f(x)在x0可导，且在x0取得极值，则f‘(x0)=0几何解释：曲线在函数取得极值的点x0处的切线是水平的。极值的（一阶充分条件）设f(x)在x0的一个领域内可导且f’(x0)=0。（1）若x取x0左侧邻近的值时，f’(x)的符号恒为正；当x取x0右侧邻近的值时，f’(x)的符号恒为负，则f(x)在x0处取得极大值;（2）若x取x0左侧邻近的值时，f

6、’(x)的符号恒为负；当x取x0右侧邻近的值时，f’(x)的符号恒为正，则f(x)在x0处取得极小值。（二阶充分条件）设f’(x0)=0，f(x)在x0处具有二阶导数且f’’(x0)0。（1）当f’’(x0)<0时，f(x)在x0处取得极大值；（2）当f’’(x0)>0时，f(x)在x0处取得极小值。（N阶充分条件）设f’(x0)=f’’(x0)=…=f(N-1)(x0)=0，f(N)(x0)0。（1）当N为偶数且f(N)(x0)<0时，f(x)在x0处取得极大值；（2）当N为偶数且f(N)(x0)>0时，f(x)在x0处取得极小值；（3）当N为奇数时，(x0，f(x0))为拐点

7、。Weierstrass定理：闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值。经济学应用供求理论需求向下倾斜规律观察由需求表得到的需求曲线Qd=f(p)，它是向下倾斜的；换言之，需求量与价格成反向变动。需求弹性价格的变化如何影响需求的变化？可用需求函数Qd=f(p)关于价格p的导数f’(p)来衡量，f’(p)称作边际需求。边际需求是否受价格和需求量的单位的影响？经济学者希望需求对价格的变化的灵敏度不受所选择单位的影响，该灵敏度可用来比较具有不同货币、不同重量和体积单位的不同国家的消费行为