正弦定理和余弦定理典型例题

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1、《正弦定理和余弦定理》典型例题透析类型一：正弦定理的应用：例1．已知在中，，，，解三角形.思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边，然后用三角形内角和求出角，最后用正弦定理求出边.解析：，∴，∴，又，∴．总结升华：1.正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；2.数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三：【变式1】在中，已知，，，解三角形。【答案】根据三角形内角和定理，；根据正弦定理，；

2、根据正弦定理，【变式2】在中，已知，，，求、.【答案】，根据正弦定理，∴.【变式3】在中，已知，求【答案】根据正弦定理，得.例2．在，求：和，．思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角，然后用三角形内角和求出角，最后用正弦定理求出边.解析：由正弦定理得：，∴，（方法一）∵，∴或，当时，，（舍去）；当时，，∴．（方法二）∵，，∴，∴即为锐角，∴，∴．总结升华：1.正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。2.在利用正弦定理求角时，因为，所以要依

3、据题意准确确定角的范围，再求出角.3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.举一反三：【变式1】在中，，，，求和．【答案】∵，∴，∵，∴或∴当时，，；∴当时，，；所以，或．【变式2】在中,,,求和；【答案】∵，∴∵，∴或①当时，，；②当时，（舍去）。【变式3】在中，，,,求.【答案】由正弦定理，得.∵,∴，即∴类型二：余弦定理的应用：例3．已知中，、、，求中的最大角。思路点拨:首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解.解析：∵三边中最大，∴其所对角最大，根据余弦定理：，∵，∴故

4、中的最大角是.总结升华：1.中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.举一反三：【变式1】已知中,,,求角.【答案】根据余弦定理：，∵，∴【变式2】在中，角所对的三边长分别为，若，求的各角的大小．【答案】设，，，根据余弦定理得：，∵，∴；同理可得；∴【变式3】在中，若，求角.【答案】∵，∴∵，∴类型三：正、余弦定理的综合应用例4．在中，已知，，，求及.思路点拨:画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边，然后继续用余弦

5、定理或正弦定理求角.解析：⑴由余弦定理得：===∴⑵求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：（法一：余弦定理）∵，∴（法二：正弦定理）∵又∵，∴＜，即＜＜∴总结升华：画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好.举一反三：【变式1】在中，已知,,.求和.【答案】由余弦定理得：，∴由正弦定理得：，因为为钝角，则为锐角，∴.∴.【变式2】在中，已知角所对的三边长分别为，若，，，求角和【答案】根据余弦定理可得：∵，∴；∴由正弦定理得：.