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时间:2019-04-17
《奥数专题~定-义新运算(带答案~完美排版~)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、-_定义新运算我们学过的常用运算有:+、-、×、÷等. 如:2+3=5 2×3=6 都是2和3,为什么运算结果不同呢?主要是运算方式不同,实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法,对应法则不同就是不同的运算.当然,这个对应法则应该是对任意两个数,通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求,不同的法则就是不同的运算.在这一讲中,我们定义了一些新的运算形式,它们与我们常用的“+”,“-”,“×”,“÷”运算不相同. 我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算
2、”.例1、设a、b都表示数,规定a△b=3×a-2×b, ①求3△2,2△3; ②这个运算“△”有交换律吗? ③求(17△6)△2,17△(6△2); ④这个运算“△”有结合律吗? ⑤如果已知4△b=2,求b.分析:解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质,本题规定的运算的本质是:用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.解:①3△2=3×3-2×2=9-4=5 2△3=3×2-2×3=6-6=0. ②由①的例子可知“△”没有交换律.③要计算(17△6)△2,先计算括号内的数,有:17△6
3、=3×17-2×6=39;再计算第二步39△2=3×39-2×2=113,所以(17△6)△2=113.对于17△(6△2),同样先计算括号内的数,6△2=3×6-2×2=14,其次17△14=3×17-2×14=23, 所以17△(6△2)=23.④由③的例子可知“△”也没有结合律.⑤因为4△b=3×4-2×b=12-2b,那么12-2b=2,解出b=5.例2、定义运算※为a※b=a×b-(a+b),①求5※7,7※5; ②求12※(3※4),(12※3)※4; ③这个运算“※”有交换律、结合律吗?④
4、如果3※(5※x)=3,求x. 解:①5※7=5×7-(5+7)=35-12=23,7※5=7×5-(7+5)=35-12=23. ②要计算12※(3※4),先计算括号内的数,有:3※4=3×4-(3+4)=5,再计算第二步12※5=12×5-(12+5)=43, 所以12※(3※4)=43.对于(12※3)※4,同样先计算括号内的数,12※3=12×3-(12+3)=21,其次21※4=21×4-(21+4)=59,所以(12※3)※4=59.-_③由于a※b=a×b-(a+b); b※a=b×a-
5、(b+a) =a×b-(a+b)(普通加法、乘法交换律) 所以有a※b=b※a,因此“※”有交换律. 由②的例子可知,运算“※”没有结合律. ④5※x=5x-(5+x)=4x-5;3※(5※x)=3※(4x-5)=3(4x-5)-(3+4x-5) =12x-15-(4x-2) =8x-13那么8x-13=3解出x=2.例3、定义新的运算aÅb=a×b+a+b. ①求6Å2,2Å6; ②求(1Å2)Å3,1Å(2Å3);③这个运算有交换律和结合律吗?解:①6Å2=6×2+6+2=20,2Å6=2×
6、6+2+6=20.②(1Å2)Å3=(1×2+1+2)Å3=5Å3=5×3+5+3=231Å(2Å3)=1Å(2×3+2+3)=1Å11=1×11+1+11=23.③先看“Å”是否满足交换律:aÅb=a×b+a+bbÅa=b×a+b+a=a×b+a+b(普通加法与乘法的交换律)所以aÅb=bÅa,因此“Å”满足交换律. 再看“Å”是否满足结合律:(aÅb)Åc=(a×b+a+b)Åc=(a×b+a+b)×c+a×b+a+b+c=abc+ac+bc+ab+a+b+c.aÅ(bÅc)=aÅ(b×c+b+c)=a×
7、(b×c+b+c)+a+b×c+b+c=abc+ab+ac+a+bc+b+c=abc+ac+bc+ab+a+b+c.(普通加法的交换律)所以(aÅb)Åc=aÅ(bÅc),因此“Å”满足结合律.说明:“Å”对于普通的加法不满足分配律,看反例:-_1Å(2+3)=1Å5=1×5+1+5=11;1Å2+1Å3=1×2+1+2+1×3+1+3=5+7=12;因此1Å(2+3)≠1Å2+1Å3.例4、有一个数学运算符号“Ä”,使下列算式成立:2Ä4=8,5Ä3=13,3Ä5=11,9Ä7=25,求7Ä3=?解:通过对
8、2Ä4=8,5Ä3=13,3Ä5=11,9Ä7=25这几个算式的观察,找到规律:aÄb=2a+b,因此7Ä3=2×7+3=17.例5、x、y表示两个数,规定新运算“*”及“△”如下:x*y=mx+ny,x△y=kxy,其中m、 n、k均为自然数,已知1*2=5,(2*3)△4=64,求(1△2)*3的值.分析:我们采用分析法,从要求的问题入手,题目要求1△2)*3的值,首先我们要计算1△2,根据“△
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