奥数专题-定义新运算(带答案完美排版)

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1、定义新运算我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.　　如：2＋3＝5　　2×3＝6　　都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.　　我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例1、设a、b都表示数，规定a△b＝3×a－2

2、×b，　　①求3△2，2△3；　　②这个运算“△”有交换律吗？　　③求（17△6）△2，17△（6△2）；　　④这个运算“△”有结合律吗？　　⑤如果已知4△b＝2，求b.分析：解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.解：①3△2＝3×3－2×2＝9－4＝5　　2△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.　　②由①的例子可知“△”没有交换律.③要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有：17△6＝3×17－2×6＝39；再计算第二步39△2＝3×39－2×2＝113，所以（17△6）△2＝

3、113.对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6－2×2＝14，其次17△14＝3×17－2×14＝23，　　所以17△（6△2）＝23.④由③的例子可知“△”也没有结合律.⑤因为4△b＝3×4－2×b＝12－2b，那么12－2b＝2，解出b＝5.例2、定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；　　②求12※（3※4），（12※3）※4；　　③这个运算“※”有交换律、结合律吗？④如果3※（5※x）＝3，求x.　　解：①5※7＝5×7－（5＋7）＝35－12＝23，7※5＝7×5－（7＋5）＝35－12＝23.　　②要计

4、算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，　　所以12※（3※4）＝43.对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※3）※4＝59.-12-③由于a※b＝a×b－（a＋b）；　　b※a＝b×a－（b＋a）　　＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交换律）　　所以有a※b＝b※a，因此“※”有交换律.　　由②的例子可知，运算“※”没有结合律.　　④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－

5、5；3※（5※x）＝3※（4x－5）＝3（4x－5）－（3＋4x－5）　　＝12x－15－（4x－2）　　＝8x－13那么8x－13＝3解出x＝2.例3、定义新的运算aÅb＝a×b＋a＋b.　①求6Å2，2Å6；　　②求（1Å2）Å3，1Å（2Å3）；③这个运算有交换律和结合律吗？解：①6Å2＝6×2＋6＋2＝20，2Å6＝2×6＋2＋6＝20.②（1Å2）Å3＝（1×2＋1＋2）Å3＝5Å3＝5×3＋5＋3＝231Å（2Å3）＝1Å（2×3＋2＋3）＝1Å11＝1×11＋1＋11＝23.③先看“Å”是否满足交换律：aÅb＝a×b＋a＋bbÅa＝b×a＋

6、b＋a＝a×b＋a＋b（普通加法与乘法的交换律）所以aÅb＝bÅa，因此“Å”满足交换律.　再看“Å”是否满足结合律：（aÅb）Åc＝（a×b＋a＋b）Åc＝（a×b＋a＋b）×c＋a×b＋a＋b＋c＝abc＋ac＋bc＋ab＋a＋b＋c.aÅ（bÅc）＝aÅ（b×c＋b＋c）＝a×（b×c＋b＋c）＋a＋b×c＋b＋c＝abc＋ab＋ac＋a＋bc＋b＋c＝abc＋ac＋bc＋ab＋a＋b＋c.（普通加法的交换律）所以（aÅb）Åc＝aÅ（bÅc），因此“Å”满足结合律.说明：“Å”对于普通的加法不满足分配律，看反例：-12-1Å（2＋3）＝1Å5＝1

7、×5＋1＋5＝11；1Å2＋1Å3＝1×2＋1＋2＋1×3＋1＋3＝5＋7＝12；因此1Å（2＋3）≠1Å2＋1Å3.例4、有一个数学运算符号“Ä”，使下列算式成立：2Ä4＝8，5Ä3＝13，3Ä5＝11，9Ä7＝25，求7Ä3＝？解：通过对2Ä4＝8，5Ä3＝13，3Ä5＝11，9Ä7＝25这几个算式的观察，找到规律：aÄb＝2a＋b，因此7Ä3＝2×7＋3＝17.例5、x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中m、 n、k均为自然数，已知1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析：我们采

8、用分析法，从要求的问题入手，题目要求1△2）*3的值，首先我们要计算1△2，根据