浙江省2020版高考数学第四章导数及其应用加强练——导数习题（含解析）

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1、加强练——导数一、选择题1.函数f(x)＝alnx＋x在x＝1处取到极值，则a的值为(　　)A.－1B.－C.0D.解析　因为f(x)＝alnx＋x，所以f′(x)＝＋1.又因为f(x)在x＝1处取到极植，所以f′(1)＝a＋1＝0⇒a＝－1.经检验符合题意.故选A.答案　A2.函数y＝x2ex的单调递减区间是(　　)A.(－1，2)B.(－∞，－1)与(1，＋∞)C.(－∞，－2)与(0，＋∞)D.(－2，0)解析　y′＝(x2ex)′＝2xex＋x2ex＝xex(x＋2).因为ex>0，所以由xex(x＋2)<0，得－2

2、D.答案　D3.已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则y的极值情况是(　　)A.有极小值B.有极大值C.既有极大值又有极小值D.无极值解析　y′＝1－＝≥0，所以函数f(x)在定义域R上为增函数，所以函数f(x)无极值，故选D.答案　D4.(2018·金华十校调研)函数y＝的图象大致是(　　)解析　令y＝f(x)＝(x≠0)，所以f(－x)＝＝＝f(x)，即f(x)是偶函数，排除选项B；当x>0时，f(x)＝xlnx，f′(x)＝lnx＋1，令lnx＋1>0，则x>；令lnx＋1<0，则0

3、名校联盟三联)已知x，y∈R，则(x＋y)2＋的最小值为(　　)A.1B.2C.3D.4解析　(x＋y)2＋可以看作直线y＝x和曲线y＝－上的点的距离的平方，由y＝－得y′＝，令y′＝＝1得x＝±，则点(，－)和点(－，)到直线y＝x的距离的平方即为所求的最小值，即(x＋y)2＋的最小值为＝4，故选D.答案　D6.已知函数f(x)＝若

4、f(x)

5、≥ax，则a的取值范围是(　　)A.(－∞，0]B.(－∞，1]C.[－2，1]D.[－2，0]解析　作出函数y＝

6、f(x)

7、的图象，如图，当

8、f(x)

9、≥ax时，必有k≤a≤0，其中k是y＝x2－2x(x≤0)在原点处的切线斜率，显然，k＝－

10、2.∴a的取值范围是[－2，0].答案　D7.已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是(　　)A.(2，＋∞)B.(1，＋∞)C.(－∞，－2)D.(－∞，－1)解析　a＝0时，不符合题意，a≠0时，f′(x)＝3ax2－6x.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.若a>0，则由图象知f(x)有负数零点，不符合题意.则a<0，由图象结合f(0)＝1>0知，此时必有f>0，即a×－3×＋1>0，化简得a2>4.又a<0，所以a<－2.答案　C8.若函数f(x)＝x－sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　

11、)A.[－1，1]B.C.D.解析　因为f(x)＝x－sin2x＋asinx，所以f′(x)＝1－cos2x＋acosx＝－cos2x＋acosx＋.由f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0在R上恒成立.令t＝cosx，t∈[－1，1]，则－t2＋at＋≥0，在t∈[－1，1]上恒成立.所以4t2－3at－5≤0在t∈[－1，1]上恒成立.令g(t)＝4t2－3at－5，只需解得－≤a≤.答案　C二、填空题9.设曲线y＝在点(3，2)处的切线与直线ax＋y＋3＝0垂直，则a等于________，切线方程为________________.解析　y′＝，所以曲线在(3，2)处的切线的斜

12、率为－，由题意知－a×＝－1，所以a＝－2，切线方程为y－2＝－(x－3)，即x＋2y－7＝0.答案　－2　x＋2y－7＝010.若函数f(x)＝ax4－4ax2＋b(a>0，1≤x≤2)的最大值为3，最小值为－5，则a＝________，b＝________.解析　令f′(x)＝4ax3－8ax＝4ax(x2－2)＝0，解得x1＝0(舍去)，x2＝，x3＝－(舍去).又f(1)＝a－4a＋b＝b－3a，f(2)＝16a－16a＋b＝b，f()＝b－4a，所以所以a＝2，b＝3.答案　2　311.定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)>f′(x)，且f(0)

13、＝1，则不等式<1的解集为________.解析　令g(x)＝，则g′(x)＝＝.由题意得g′(x)<0恒成立，所以函数g(x)＝在R上单调递减.又g(0)＝＝1，所以<1，即g(x)0，所以不等式的解集为{x

14、x>0}.答案　{x

15、x>0}12.已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ln＋的图象分别与直线y＝m交于A，B两点，则

16、AB

17、的最小值为________，此时m的值为________.解析　由题意A(lnm，m)，B(