球类问题赏析

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1、球类问题赏析梁克强球类问题，画起图来麻烦，分析思考就更困难了，但球类问题却是高中数学的重点内容之一，高考中年年都考。下面例谈如何突破难关，解决球类问题。一.多球相切例1.将半径都为1的四个球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（）A.B.C.D.分析：设正四面体为A1－B1C1D1，它的高有最小值时，四球两两外切，并且同时内切于正四面体，两球外切时，球心连线通过切点，球心距等于两球半径之和。四球心连线构成的正四面体A－BCD（如图1）与正四面体A1－B1C1D1相似，过高AH及棱AB作的一个截面（如图2），包含其主

2、要元素。图1图2由正四面体A－BCD的棱长AB＝2，求得利用，得A1A＝3AF1＝3，而HH1＝1∴正四面体A1－B1C1D1的高A1H1的最小值故选C点评：解决多球相切的问题，常用的方法有两种：①连球心，转化为多面体问题；②找截面，化为平面几何问题。二.球与多面体相接例2.如图3，已知正三棱锥P－ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，△ABC、△PEF都是正三角形，（1）证明平面PAB（2）求二面角P－AB－C的平面角的余弦值。（3）若点P、A、B、C在一个表面积为的球面上，求△ABC的边长。分析：（1）利用，，即可证明结论。（2）

3、是二面角P－AB－C的平面角，（3）由（1）（2）可证P－ABC是正三棱锥，。如图3，把它的高PK延长交球面于另一点D，则PD是球的直径。图3设PA＝x，球的半径为R，则，，在中，由，得得x＝2△ABC的边长为三.球面距离例3.如图4，已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离为，则球心O到平面ABC的距离为（）A.B.C.D.图4分析：紧紧抓住球心O，由于A、B、C每两点间的球面距离为，因此，球心角而OA＝OB＝OC＝1即O－ABC是正三棱锥，由得，故选B练习题：设地球的半径为R，若甲地位于北纬45°东经120

4、°，乙地位于南纬75°东经120°，则甲、乙两地的球面距离为（）A.B.C.D.参考答案：D年级高中学科数学版本期数内容标题球类问题赏析分类索引号G.622.475分类索引描述　　统考试题与题解主题词球类问题赏析栏目名称专题辅导供稿老师审稿老师录入韩秋荣一校胡丹二校审核