第六讲 离散时间跨时套利定价理论

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1、第六讲离散时间跨期套利定价理论6.1介绍本讲主要讨论离散时间多期衍生证券定价问题，衍生证券的价格通常并不采用均衡定价方法，而是采用套利定价方法。Harris&Kreps(1979)等发现，如果一个价格系统不存在套利机会，那么该系统存在一个等价鞅测度，利用鞅测度，我们可以非常方便地定价各种衍生产品的价格。下面我们通过两个简单例子，来说明等价鞅的存在及期权定价。例1：考虑一个两期模型，假定第一期标的资产价格为S=35，期权的执行价格为X=35，连续复利无风险利率为9.531%，因此，成熟期为一期。假定资产价格或者上升2

2、5%，或者下跌25%，即上升后价格为Su=43.75，下降后价格为Sd=26.25，其资产价格变化如下图6.1所示。由此一个看涨期权的回报如图6.2所示。（图6.1）：一期资产价格树（图6.2）：一期看涨期权树22下面我们来构筑一个投资组合，利用期权来对该风险资产进行完全的套期保值，从而使得该组合成为一个无风险资产。假定我们出售H份标的在该资产上的看涨期权，使得该组合不存在风险，则其第一期成本为S-Hc，完全套期保值后的回报都是26.25，其回报过程可以用图6.3来刻画。1、出售的期权份额H：因为完全套期保值后成熟

3、时的回报相同，因此我们有：，因此我们可以求解出H：；将相关数值代入，得H=2。（图6.3）：一期的无风险投资组合树2、无套利机会时的期权价格：因为无套利机会存在，无风险组合的回报率应该等于无风险资产上的回报率，因此我们有：整理得：；此即欧式看涨期权价格，欧式看跌期权的价格可以根据看涨-看跌平价关系得到。221、等价鞅测度：事实上我们可以将上式改写为：，其中相当于一个概率，称为一个等价鞅测度。在该测度下，期权价格等于未来受益的期望贴现，与个体偏好等因素无关。注：该测度仅是一个假想的测度，并不真正反映上升和下降出现的概

4、率。（图6.4）：资产价格和期权收益树例6.1.2：考虑一个四期的期权定价例子。假定标的资产的价格S=35，期权的执行价格X=35，成熟期为一年。连续复利无风险利率为9.525%，因此；如果将一年分为四季，则。假定资产价格变化如下图6.4所示。则u=1.10517，d=0.904837，R=1.024098，。由此我们可以求解各种欧式期权和美式期权的价格。22(1)在第0期开始时发行的、成熟期为4、执行价格为35的欧式看涨期权价格，则个体只能在第4期执行该期权，其价格可以表示为：(2)计算在第一期当资产价格为38.

5、68时发行的、第三期成熟的、操作价格为40的欧式看涨期权价格：以此类推。6.2无套利机会与等价鞅测度一、模型的建立考虑一个多期证券市场经济，t=0,1,…,T。假定在该经济中存在I位个体，。为简化讨论，假定经济中只有一种易腐烂的消费品，并将这种消费品作为计价单位，因此消费品的现货价格为1。信息结构：假定经济中有有限个自然状态，它们构成一个状态空间。假定经济中的信息是逐渐展示出来的，到T期个体才能知道真正的自然状态是中的哪一个。我们可以用一个事件树来刻画信息结构。图6.5描述了五个自然状态、三个交易日的信息结构。在t

6、=0时，个体仅知道真实的自然状态在中。t=1时，部分信息被披露出来，或者事件发生，或者事件发生；当事件发生时，个体知道真实的自然状态只能是、或；当事件发生时，个体知道真实的自然状态只能是或。t=2时，信息完全展示出来，个体就知道具体哪个自然状态发生了。定义：一个事件是的一个子集。称两个事件不相交，如果这两个事件的交集是空集，即一个自然状态如果属于一个事件，它就不属于另一个事件。定义：的一个分割是一组事件的集合22，如果这些事件彼此不相交，且它们的并等于。称一个给定分割要比另一个分割更精细，如果后一个分割的任一事件都

7、是前一分割中事件的并。(图6.5)：信息结构。我们可以用来记个体被赋予的公共信息结构，其中每一个都是的一个分割，满足：如果，则比更精细；，。定义：一个随机过程是一个由时间t标识的随机变量序列。定义：称一个随机过程关于适应(adaptedto)，如果对于任意的t，关于可测。定义：称一个随机过程关于可料的(predictableto)，如果对于任意的t，关于可测。资产结构：定义：一个时间事件或有权益(time-eventcontingentclaim)是一种证券，在交易日、事件发生时支付一单位消费品，在其它时间和情形下

8、没有支付。定义：一个复杂证券是由时间022消费品和一族时间事件或有权益构成的证券，它可以被表示为，其中和分别为以消费品衡量的时间0和时间t、时间下的红利。定义：一个长生命证券(long-livedsecurity)是一种在任意交易日都可以交易的复杂证券。假定经济中存在N+1种长生命证券，j=0,1,…,N。假定第0种资产是面值为1的T期贴现债券，其红利流可以