几组强烈对比的习题及点析 新课标 人教版

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1、几组强烈对比的习题及点析http://www.DearEDU.com广东省吴川市振文中学（524573）柯厚宝强烈对比的习题，对于学生认识数学问题，优化其数学思维的深度与广度起不可或缺的作用。在教学过程中，笔者编制了不少强烈对比的习题，供学生参考，也收到了一定的效果。下面整理几组与同行分享。题组一：求定义域与求值域的强烈对比1，函数的定义域是。2，函数的值域是。1，解析：由，得，故所求的定义域为。2，解法（1）：令，得，=，得，又，故。所求的值域为。解法（2）：令，得，又，由，得，这时为增函数；由得，这时为减函数。而当时，；

2、当时，；当时，，有。故所求的值域为。点析：题1是高中《数学》第一册（上）的一道习题，不难得解。但要解决题2，可要动动脑筋了。重要的数学思想方法，如：化归思想、配方法、数形结合法、导数法，都可派上用场了，这样，学生的数学思维的深度与广度便得到了一次有效的优化。题组二：正面与反面的强烈对比3，已知，，且，则实数的取值范围是。4，已知，，且，则实数的取值范围是。答案：3，；4，，（详解略）。点析：题3也是课本一道习题，不难从正面直接得到解答。但对于题4，再直接求解，则难以奏效，若能先考虑好其反面的情形，再求其结果，就可避开不少麻烦

3、的讨论。正难则反。这时，学生的思维要在正面与反面之间完成转换，提高了思维的品质。题组三：连续与离散的强烈对比5，已知都是正数，若，则的最小值是。6，已知都是正整数，若，则的最小值是。答案：5，；6，8。（详解略）点析：题5也是课本一道习题，用基本不等式不难求解。但是，若把这种方法不加改造地搬用到题6时，发现等号再也取不到了，得好好动动脑子了，得将原来的连续取值，中断开来，考虑一些离散的正整数了。习惯性连续的思维被拉开了，学生对连续与离散的认识也会随之而加深。题组四：有限与无穷的强烈对比7，已知数列的首项，且，则。8，已知数列

4、的首项，且，若存在，则。答案：7，；8，。（详解略）点析：题7是课本一道例题，求出的值，可求得。但是，若企图求得，后，用先猜后证的方法，求出的表式，再求，这样会遭遇很大的麻烦。这时，我们得将题7中的有限情形扩展到无穷中去，存在，说明=，不妨设为A，则由得，，问题可解。对于有限的东西，学生常很有信心，但对于无穷的事物，他们常觉得不可捉摸。这个使得他们的思维尝到了无穷的滋味。题组五：常规与非常规的强烈对比9，定义在R上的函数不是常数函数，且满足，，则A，是奇函数也是周期函数B，是偶函数也是周期函数C，是奇函数但不是周期函数D，是

5、偶函数但不是周期函数10，设函数在上满足，，且在闭区间上，只有。（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；（Ⅱ）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论。答案：9，B；10，（Ⅰ）既不是奇函数也不是偶函数，（Ⅱ），802个。（详解略）点析：题9是不少高考备考资料都出现的一个习题。题10是2005年广东省高考倒数第二题。若不经考虑与探索，把题9的思维方式与结论强加到题10，你就成了命题者的一块大鱼腩。面对全新的问题，我们要做的工作就是，切实深入的分析、探索与尝试。题组六：静与动的强烈对比11，已知在区间上是增函数，则实数的取值范围是。12

6、，已知，为常数，试求在区间上的最大值与最小值。11，答案：。（详解略）12，解：可求得。令，得，。注意到，，且，，只需分三种情况讨论即可：（1）当，时，即，得，解得，这时：①当时，，为增函数；②当时，，为减函数；又。，。（2）当，时，得，这时：①当时，，为减函数；②当时，，为增函数。得，。（3）当，时，得，这时当时，有，为增函数。；。综上所述：当时，，；当时，，；当时，，。点析：题11是2004年福建一道高考题，用导数法不难得解。但当把它移植到题12时，就漏洞百出了。因为题11是相对静止的，而题12就要捕捉与的位置了，它动了

7、起来，逼着我们数形结合、分类讨论、整体处理。且光靠这些还不够，在整个解题过程中，还需要不少的解题机智，要做不少立体式的思维体操。