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《函数与方程思想的应用 新课标 人教版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、函数与方程思想的应用陕西洋县中学刘大鸣http://www.DearEDU.com【思想方法精析】函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识加以解决.这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的动态研究，以变量的运动变化，联系和发展角度打开思路.和函数有必然联系的是方程，方程实质为函数值为0时自变量满足的关系式.要确定变化过程中的某些变量，往往要转化为方程（组）的求解问题.方程的思想是“动中求静，研究运动中的等量关系”.函数思想和方程思想密切相关，相辅相成，为解决数学综合问题
2、提供了思路和方法.【经典问题回放】1利用函数思想沟通变量和知识间的关系.例1.函数f(x)使f(x2-1)=对于f(x)值域中的任何实数p,都有x2+(p-2)x+(1-p)>0，求x的范围.简析：换元法求解析式，函数思想,选主元沟通变量间的关系，用“一次函数的保号性”解决.换元易求f(x)=,且为减函数，由单调性知，0=f(3)于是，问题化为，0中的任何实数p，都有x2+(p-2)x+(1-p)>0.若视关于x的二次不等式需分类研究.若“函数思想沟通化参数p为主元”可构造“一次函数的保号性”求解“简单且具有操作性”.x2+(p-2)x+(
3、1-p)>0,问题化为g(p)=由“一次或常函数函数在闭区间上的图象是线段”只需g(0)=x2-2x+1>0,g(解之所求x的范围为（-例2Rt⊿ABC中∠C=90o,∠A、∠B、∠C的对应边分a、b、c且a+b=cx，以斜边AB为轴将⊿ABC旋转一周，所得几何体的表面积为S1，⊿ABC的内切圆面积为S2，，求函数f(x)=的最小值.简析：运动变换的观念，构建函数关系，由方程观念确定自变量的范围，用函数单调性求最值.由旋转体的构成过程有，S1=pabx，，则f（x）====2（x-1）++6用心爱心专心118号编辑4=+6，而a+b=cx，
4、则，定义法或导数法可证，+6在上是减函数，故f(x)=的最小值.2函数思想认识不等式，构建不等式求参数范围.例3不等式+++…+＞㏒a（a-1）+对一切大于1的自然数n都成立，求实数a的取值范围.简析：不等式左端无法求和，思维中断.若用函数认识不等式其左端为一个函数，研究其单调性转化构建不等式易解.可设函数f（n）=++…+（n≥2），由于f(n+1)-f(n)=，所以f(n)为增函数，故f（n）≥f（2）=，构建不等式有㏒a（a-1）+＜，解得1＜a＜.3用函数思想，构建二次函数解决代数逻辑推理问题.例4已知函数f(x)=ax2+bx+c
5、,(a>b>c)图象上有两点A(m1,f(m1)),B(m2,f(m2))满足f(1)=0且a2+(f(m1)+f(m2))·a+f(m1)f(m2)=0.⑴求证b;⑵能否保证f(m1+3)和f(m2+3)中至少有一个为正数？请证明你的结论.简析：把握方程根的意义，构建二次方程的判别式和函数的单调性和不等式结论求解.⑴由a2+(f(m1)+f(m2))·a+f(m1)f(m2)=0知，f(m1)=-a或f(m2)=-a.即m1,m2是方程ax2+bx+c=-a的两根.则,即.而f(1)=a+b+c=0.即a+b+c=0,且a>b>c,则a>
6、0,c<0.故b(b+4a)b(3a-c).而3a-c>0,所以b;⑵设f(x)=ax2+bx+c的两根x1,x2.由f(1)=0，显然，其中一根为1，另一根为c/a,又a>0,c<0,c/a<1.而a>b>c，且b=-a-c,则a>-a-c.故.即<
7、x1-x2
8、<设f(x)=a(x-x1)(x-x2)=a(x-1)(x-c/a).由已知f(m1)=-a或f(m2)=-a.若f(m1)=-a，a(m1-1)(m1-c/a)=-a<0,c/ac/a+3>1,又f(x)在(1,+上为增函数，所以f(m1+3)>0.同理，
9、当f(m2)=-a时，有f(m2+3)>0.故f(m1+3)和f(m2+3)中至少有一个为正数.4构造“二次方程根的分布问题”解题.例5设函数.若函数的定义域为，则函数的值域为，求实数a的取值范围.简析：由值域确定定义域，构造方程，用根的分布求解.的真数是熟知的函数，题设给出定义域和值域的关系，是否具有单调性？函数隐含因为函数的定义域为，所以，从而，又而，这说明.又用心爱心专心118号编辑4则在上是增函数，从而在上是减函数，故函数的值域为，据题设有，，由方程根的定义知，是方程的两根，且两根均大于.整理为二次方程=的两根均大于，由根的分布，只
10、需解之，.故实数的取值范围为.【实例演练】1关于x的不等式loga(2-ax)<0在〔1,2〕上恒成立，求实数a的取值范围.简析：两次构造“一次函数的保号性”求解.不等式有意义〔
