培养中学生数学思维能力的探究内容摘要：本文由现代数学教学观引入，明确所要研究的问题，又以调查的实际情况和学生实际，说明了课题研究的重要性和迫切性，紧接着对思维及数学思维作了界定和简短阐述，指明了探究的内容，然后从“数学思维能力培养的方法”与“数学思维能力的培养”两大方面进行了论述，讲述了实际操作的过程和部分实践后的经验，最后以业绩说明课题研究的可行性。 现代数学教学，把培养学生的数学能力提到了应有的高度。的确，数学教学中传授知识是一方面，但更重要的应是发展学生的数学能力，使学生学会数学的思考、研究和解决问题。众所周知，数学能力的核心是数学思维能力。一、课题研究的背景1999年，我曾向初中生、中专生、社会待考生进行了谈话式的调查，中心一题是：“数学到底怎么难学？”回答是：“别的科能背，数学没法背。背的题，见过的题不见得考，即使考也有变换。数学难学又难考。”；“比如应用题，题读通了，还是不知从哪儿入手解决，式子更不知怎么列”；“几何倒是挺有趣的，一步二步的题还行，能解决，可是复杂题就理不出头绪来，学习中往往就放弃了”。除谈话调查，我还曾对昌平区统一命题中学困生的试题解答作过一次考察，结果令人吃惊：从第三大题计算题开始，越往后，失分率越高，到最后的两道综合题连字影儿都没有。从调查中反映出的问题主要是：部分中学生缺少科学的数学学习方法，更严重的是思维功能的僵化。因此，我把培养中学生数学思维能力作为数学研究的进行课题。二、数学思维浅述心理学研究指出，思维是人脑对客观事物的本质和事物内在规律性关系的概括与间接的反映。数学思维，由于数学这门科学本身的高度的概括性和抽象性，就决定了数学思维的特征：第一是概括性，第二是间接性。如：人们最熟悉的自然数其实并不“自然”，现实中并不存在，它是概括了不同事物在“数量”方面的特征后的结果；数学中的点、线、面也是概括了现实世界中相应事物的特征以后的理想化结果；数学的逻辑推理规则、方法也是对人类长期积累的经验的抽象概括的结果，因此，数学思维是概括之上的概括。再有，数学概念是对数学本质的抽象，这种抽象只保留了事物的数量关系和空间形式，而舍弃了其他自然属性，而且这种数量关系和空间形式是理想化的，这也就导致了数学这门科学与现实事物间的“天然距离”，从而使数学思维更加间接。数学思维还可根据不同的角度不同的标准进行分类，比较公认的是分为逻辑思维、形象思维和直觉思维三种。其中形象思维具备思维的各种特点，主要心理因素有联想、表象、想象和情感。形象思维是非常重要的，创新是数学或其它任何一门自然科学乃至社会科学发展的根本，它与形象思维的关系非常密切，数学中的形象思维激励着人们的想象力和创造性，常常导致重要的数学发现。当然形象思维不是独立的，它与逻辑思维在数学发现过程中相互渗透，相互补充，共同完成数学的创新活动。数学能力有高低之分，我们数学教师在这方面是深有体会的，同样的问题，有的学生解决的速度快，有的慢，人们总习惯说：“这孩子脑子快，那孩子脑子慢”，其实这种现象产生的主要原因是数学思维品质。一般将思维品质分为深刻性、灵活性、独创性、批判性、敏捷性五个方面，其实数学思维品质也大致包括这五个方面。五种思维品质相辅相成，组成一个有机的整体，其中，思维深刻性是一切思维品质的基础。三、中学生教学思维能力的培养（一）、中学生数学思维能力培养的方法1、 夯实基础 俗语道：“巧媳妇难做无米之炊”，离开了“双基”，任何能力的培养就成了“空中楼阁”，失去了根基，因此，在能力培养中要特别注意夯实基础。对基础知识教学要重点揭示它们的本质属性和内在联系，使学生深刻地理解。如，关于“绝对值”的概念，看起来很简单，但学生应用时往往写成a=a，其原因就是没有真正理解这个概念。对基本技能的训练，在备课时，要“心理换位”，即自己设想是学生，设想学生思维的障碍；在课堂教学时要合理安排讲与练的时间，引导学生动脑、动口、动手进行各种形式的练习，教师要时时启发学生积极思考，有计划地让学生回答问题，有时可启发全班同学讨论，把他们的正确或错误的回答，变为全班同学的经验和教训，同时也培养了学生的逻辑思维能力和归纳推理能力。对数学语言表达能力的培养也是至关重要的。几何学习第一关就应是语言关。教师要联系实际，边讲边画，使学生逐步熟悉几何语言。几何里的许多名词，概念叙述严谨，学生不易理解也很不习惯。为了使学生逐步熟悉几何语言的表述与叙述特点，我引导学生认真阅读理解教材，并充分利用教材让学生多读多练；其次对于一些关键性和难于理解的词句，要依据学生的实际给予形象的讲解，因为形象思维在初中阶段起着重要的作用。如：①A是直线BC上一点，为区别“直线上”和“直线外”，我举例说：“请同学骑车时不要在公路上玩耍等。”②“有且只有”，学生第一次遇到不易理解，我引导学生讨论，然后归纳并总结说：“注意两个方面，（A）有，是一定有，不是没有；（B）“只有”是一条，不是两条，三条……。”对代数语言也同样如此。对代数的公式，学生只习惯记数学符号语言，其实文字语言的理解与表述是掌握公式，法则的关键。对看图画图能力的培养，要读读画画，画画说说，讲练结合。几何是研究图形的形状，大小和位置关系的学科，因而学几何就离不开识图、画图，以至到初三的函数的学习、一些实际应用题，解应用题都要用到数形结合的方法，“形”的认识，画“形”的动手能力，对“形”的思维都离不开最开始的识图、画图的基本功。我的教学实践是：①耐心细致，每画一个点、一条线，一个角时教师都要边讲边画，使学生看到，认识到图形形成的全过程。②从模仿入手，从简单到复杂，逐步培养学生的画图能力，而后让学生根据语言叙述画出图形，再把图形变为几何语言，反复练习。③教会学生把复杂图形逐步分解，运用“标准”、“变式”和“复合”三种图形相结合的方法进行教学，培养学生分解图形的能力。如：几何“双垂直”的教学中（几何第三册修订版第36页例3），如图： C E E E H H N HA D B F G F&bsp; M G F M G ① ② ③ ④ 如果把①当做标准图形，那么②是变式图形，而③和④则是复合图形。在教学中，以①证明出三个结论后要求学生根据②写出三个结论，最后问学生③和④中含有几个象图中①这个基本图形，并且要求学生根据图答出结论。还可进一步启发，在③和④中有几个“平行线被两条相交直线所截”。这个基本图形在此基础上再赋予一些具体数字，让学生进行计算。如③中，已知FE=4，HG=2，求其它线段的长，也可让同学出示数据练习。几何教学中选用三种图形相结合的方法教学，是对变式教学原则的一个突破，对培养学生分解图形的能力，进一步提高数学思维能力和解题能力都有积极的意义。 落实双基，训练好学生的基本功是培养学生各种能力的基础，也是我们教好数学的目的和归宿，但是基本功训练过程与能力的培养不是截然分开的，是相互依存，相互促进的。2、 阶梯式培养学生的数学思维能力由于数学思维具有间接性的特征，这种间接性是由于有知识经验的作用，而且是随着知识经验的丰富而不断发展的，因此，对学生的数学思维能力培养的研究必须与学生的数学知识结构和学生的认知结构结合起来，如辨证逻辑思维的发展，小学高年级有了初步的意识，到初一开始已经掌握辩证逻辑思维的各种形式，但还是雏形，水平较低，到初三处于迅速发展阶段，是个重要的转折时期。所以根据中学生的年龄特征和认识规律，由浅入深，由易到难，学生是可以接受的。这一课题的研究分三年实施，初一重点进行阅读数学教材及表达能力的培养，初步训练逻辑思维能力；初二重点进行形象思维与思维敏捷性的训练，培养学生独立思考寻找解题规律的能力，从而使数学思维迈进一步；初三重点培养学生的概括能力和数学思维品质，进行数学思维的全面训练，从小处着手，大处着眼，最终完成对学生数学思维能力的培养。（二）、中学生数学思维能力的培养1、概括能力的培养学习和运用数学知识的过程都是概括的过程，迁移的实质就是概括。没有概括，学生就不可能形成数学概念，因而也不能理解和掌握由数学概念所引申的定义、定理、公式、法则等知识，也不可能运用数学知识去解决各种问题；没有概括，学生的数学认知结构就无法形成；没有概括，学生的数学能力就难以形成，这是因为数学能力是以概括为基础的，数学能力最主要地表现在将现实中的问题概括成为数学问题，再概括出其中的数量关系，再概括到某个数学模式上去，进而使问题获得解决的过程中。有经验的数学教师在课堂教学中都十分重视数学概括能力的培养。在概括能力培养的过程中，教师应设计教学情境，明确概括路线，引导学生猜想，发现。教师设计教学情境时，首先应当在分析新旧知识之间的本质联系与区别的基础上，紧密围绕揭示知识间本质联系这个目的，安排猜想过程，促使学生发现内在规律；其次应当分析学生已有数学认知结构与新知识之间的关系，并确定同化模式，从而确定猜想的主要内容；再有应设计多种启发路线，在关键步骤上放手让学生猜想，使学生的思维真正经历概括过程。如：在讲点与圆的三种位置关系时，我不是让学生被动地接受教师讲，而是让学生在练习本上先画一个圆，然后提问学生回答，这个圆把平面分成几个部分？有的学生说两部分，有的学生说三个部分，到底是几个部分呢？引导学生相互议论，最后通过学生的充分感知，得到正确的结论，再进一步揭示圆内部分，圆外部分也可以看成是一个集合（因为在讲圆的概念时，学生已经理解了，圆是到定点的距离等于定长的点的集合）让学生过观察、比较，归纳概括出：圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。在此进一步提出问题：若设圆的半径为r，点A到圆心的距离为d,当点A与圆心的距离由小于半径变到等于半径再变到大于半径时，点A和圆的位置关系有什么变化。学生通过思考得出：点A和圆的位置关系由圆内变到圆上又变到圆外。在此，我启发同学：若点B也如同点A那样变化，则与圆的位置关系怎样呢？这个规律对任一点是否都一样呢？在一个一个的设疑解决之后提出：点与圆的位置关系，怎样描述呢？此时d与r之间又有怎样的关系呢？引发学生思考、概括。学生用语言概括之后，教师板书关系式： 点在圆内 d＜r； 点在圆上 d=r； 点在圆外 d＞r。 这样把点和圆看成是运动变化得到的三种情况，便于学生理解、思考与概括，同时让学生掌握用运动的观点去对待一个静止问题的数学思维方法。从而使学生的思维得到训练与发展。概括是思维的基础，学习和研究数学，能否获得正确的抽象结论，完全取决于概括的过程。数学的概括是一个从具体向抽象、初级向高级发展的过程，也即概括是有层次的、逐步深入的。在这个过程中，随着概括水平的提高，学生的思维从具体形象思维向抽象逻辑思维发展。数学教学中，教师应当根据学生思维发展水平，利用概念的逐级抽象过程，及时向学生提出高一级的概括任务，从而不断发展学生的概括能力。2．数学思维品质的培养数学思维的五种品质反映了思维的不同方面的特征，因此在教学过程中，应该有不同的培养手段，仅以思维深刻性、创造性为例浅谈。（1） 思维深刻性的培养 数学的性质决定了数学教学既要以学生思维的深刻性为基础，又要培养学生的思维深刻性。①运用新概念思维的深刻性，在概念的学习与运用中主要表现在理解能力强，能抓住概念、定理的核心及知识的内在联系，准确的掌握概念的内涵及使用的条件和范围；在用概念判别命题的真伪时，能抓住问题的实质；在用概念解题时，能抓住问题的关键。所以在学生深刻理解数学概念之后，立即引导学生运用所学概念解决“引入概念”时提出的问题（或其它问题），在运用中巩固概念，使学生认识到数学概念，即是进一步学习数学理论的基础，又是进行再认识的工具，如此往复，使学生的学习过程，成为实践—认识—再实践—再认识的过程，达到培养思维深刻性的目的。当然应用的设计要由易到难，循序渐进，形成梯度，拾级而上，以促进学生思维的合理过渡。②设置悬念于课尾课堂教学收尾时，提出一些富于启发、思考的问题，但不做答复，造成悬念，则具有评书味道“欲知后事如何，且听下回分解”的魅力，使学生感到余味无穷，从而激发他们继续深刻学习。如：一元二次方程解法的习题课结尾时，提出如下问题：今天我们所学的一元二次方程，或有两个不等的实数根或有两个相等的实数根或没有实数根，他们都是与b2-4ac的值有关，同学们不解方程能否判定一个一元二次方程的根的情况呢？请总结其规律。结尾一席话，激起学生施展才华的欲望，急于想知道怎么判定，促使学生课下去探索、研究、总结，同时为下节课----根的判别式打下良好的心理基础。③引导学生剖析问题的本质教育学生学会透过现象看本质，学会全面的思考问题，养成追根究底的习惯。数学中的许多问题，其表现形式各异，但内在本质往往一致，通过适当的数学变换，可以把它们归结为同一个问题，这就是“变式”。“变式”教学不但可以使学生对数学知识的本质理解得更加透彻，而且还可以使学生的思维深刻性、批判性品质得到很好的培养。④在解题教学中在解题教学中，引导学生认真审题，探索信息，发现隐含关系，引导学生分析解题方法的优劣，优化解题过程，寻找最佳解法等。如：已知：矩形ABCD的边长AB=3，AD=2，把这矩形放入平面直角坐标系XOY中，使AB在X轴正半轴上，C，D落在第一象限，且点D在直线Y=-3X+5上，以AB为直径作圆M，抛物线Y=ax2+bx+c经过A、B两点，顶点为P，①求点A、B、M的坐标；②若点P在圆M外且在矩形ABCD内时，求a的取值范围；③在⑵中若OP与圆M相切，切点为Q，求此时抛物线的解析式. 在分析中，需引导学生深入研究题设，深挖隐含条件，如在此题抛物线的顶点P在AB的垂直平分线上，题目条件中，并没有明确给出，就要引导学生去发现；又抛物线的解析式有一般式、顶点式及双根式，所以，根据题意正确选择抛物线的解析式，便会省力。此题还涉及到构造特殊的图形，用到数学的转化思想、数形结合思想。 有目的地选择习题，以有利于培养学生的思维深刻性。当然思维深刻性的培养还有很多渠道，这里从略。 （2）思维创造性的培养新大纲中增加了重视创新意识和实践能力的培养一小节说明，在具体内容中增加探究性活动。课文中增加了探究课，探究性习题。教学实践表明，解答这类问题只运用逻辑思维难以完成，需要把逻辑思维、形象思维和直觉思维综合起来发挥作用，产生创新性思维。创新思维能力是在点点滴滴积累中形成的，这就要求教师在每个教学环节中有意识地创设情境去培养。在计算公式的推导中、在想一想，猜一猜中、在应用性问题的探究中，落实创新思维能力的培养。如：在学完解直角三角形后，我在习题课上提出一题，已知，C城市在B城市的正北方向，两城市相距100KM，计划在两城市间修筑一条高速公路（即线段BC），经测量，森林保护区A在B城市的北偏东60度的方向上，又在C城市的南偏东30度的方向上，已知森林保护区A的范围，是以A为圆心，半径为50KM的圆。问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区？为什么？此题是一个涉及环保的应用问题，综合考查学生的数学基础知识，对学生灵活运用知识有较高的要求；通过解决这个问题，还可以充分发挥学生的主动性和创造性。果不出我所料，学生兴致倍增。10分钟后出答案“会”。创造性思维的培养，首先应当使学生融会贯通的学习知识，在解题中则应当要求学生独立起步，养成独立思考的习惯，在独立思考的基础上，还要启发学生积极思考，使学生多思善问。能够提出高质量的问题是创新的开始，鼓励学生“标新立异”、“别出心裁”。四、课题研究成果 我从事数学教学三十多年中，重视方法的指导，能力的培养，教学效果也较好，就刚刚送走的毕业班，经过三年的培养，初三中考获得理想的成绩。及格率100%，平均成绩进入昌平区前十名。这说明培养学生数学思维能力是成功的，同时也是可行的。
