初中数学教学论文 浅析苏科版初中数学教材渗透面积法的应用

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1、浅析苏科版初中数学教材中面积法的渗透应用现行各版本的初中数学教材，图形全等和相似被看成是求解各个相关问题的一个重要工具，也是用来培养学生逻辑思维能力和识图能力的重要途径。全等图形有两个重要特征，即：“面积相等”和“形状相同”。如果我们削弱其中的“面积相等”特征，保留“形状相同”特征，则得到更为宽泛的概念——相似形，用其去解决相关问题的方法称之为相似法，这种方法在各版本初中数学教材中均作了较系统的介绍，它对培养学生的数学能力起到了很大作用。但如果我们削弱“形状相同”特征而保留“面积相等”特征，则我们得到了另一个宽泛的概念——面积相等形（等积形），用其去解决相关问题的方法称之为面积法，

2、这是从图形的另一个本质属性——面积来研究图形特征的一种方法，其作用与地位在初中数学学习中同样显得重要。中国科学院著名数学家张景中院士早就对面积的属性进行了系列研究，开辟了几何研究的新路径。在初中数学的学习中，以往版本的教材在内容安排上往往较注重图形“形状”属性及相关应用，对图形的“面积”属性仅仅限于一般计算，没有进一步研究其应用价值，使得学生在解决问题时，常常不能用面积这一重要的本质属性去打开解题思路。事实上，用面积的属性去解决相关问题，处处体现在数学内容、数学学习的全过程，尤其是在后续的高中、大学学习阶段，面积法的思想体现得更广泛。新版苏科版初中数学教材一方面注重“图形”属性的系

3、统学习，另一方面在内容编排中较大程度地关注了图形面积属性的应用，在“数与代数式”、“空间与图形”、“统计与概率”三大学习领域中均渗透了用面积法来解决相关问题的这一重要数学思想方法，突出了面积法作为一种数形结合的数学思想方法在数学学习中的重要作用。一、在“数与代数式”学习领域中渗透面积法的应用1.在乘法公式验证中的应用苏科版八（上）“从面积到乘法公式”一章中，教材设置了大量的面积图形情境，意在让同学们感知数与图形的有机结合，体会面积在代数中的应用价值。图1abcd例一，在计算单项式乘以多项式a(b+c+d)时，教材一方面采用乘法分配律进行得出ab+ac+ad，另一方面又从图形面积的角

4、度来验证该结果的形成：如图1：若把图1看成一个大长方形，它的长为b+c+d，宽为a，其面积为a(b+c+d)；若把图1看成由3个小长方形组成，那么它的面积为ab+ac+ad；由此可得：a(b+c+d)=ab+ac+ad。从而，单项式乘以多项式从面积图形中很直观地得出结果。abcd例二，对于多项式乘以多项式（a+b）（c+d），一方面教材用逐项相乘得到(ac+ad+bc+bd)。另一方面同样从图形面积来让学生体会其结果的形成。图2如图2的矩形中可用面积很直观地验证上述结果（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd。教材中编排了大量通过图形面积让同学们体会代数式的情境，像（a+b）2

5、（a+b+c）2……如何用面积验证展开结果。同时教材又安排了让学生利用面积动手拼关于代数式a2+3ab+2b2，a2+5ab+4b2……的几何图。2.在方程求解变换中的应用教材九（上）在“求一元二次方程的解”的章节中，列出了如下问题：例三，在用配方法解一元二次方程x2+2x-24=0时，配方的过程（方程的同解变形）可以用图形面积直观地表达：xx+2xxxxX211x11x+1x+125x(x+2)=24→x2+2x=24→x2+2x+12=24+12→(x+1)2=25图3教材通过上述对比，能让同学们从图形面积的角度感悟方程的求解过程，体会数、形结合的本质。因配方法是解一元二次方程

6、的通法，所以该图形面积变换同样具有通适性。3.在函数图像中的应用M’P’MQQ’PO图4教材八（下）反比例函数一节中，教材从内容到习题的编排均突出了反比例函数图形中面积的重要特征及应用。例四，如图4，直角坐标系中，P（x、y）为第一象限任一点，过P作PQ⊥x轴，PM⊥y轴，得矩形PQOH，若保持矩形PQOH面积为常数k，则这样的P点所构成的图形是怎样的？事实上，由于x·y=k，∴y=，它是反比例函数，∴P的图像为双曲线y=的一支。这是矩形的一个等积变形的典型应用，教材编选此题意在突出在矩形形状变化而面积保持不变过程中的重要特征，即我们熟知的反比例函数y=中k的几何特征。·BAMN’

7、PD同样在八（上）一次函数章节中配备了如下练习：图5例五，在图5中，（1）画出直线：y=x-1的图像（2）现有一点P（3、1）求P到x轴、y轴距离（3）你能求出P到直线l的距离吗？对于（1）、（2）两题，是研究直角坐标系中点与直线的一般特征，而求点到直线的距离虽是高中阶段学习的重要内容，一般初中阶段不作要求，但我们完全可从面积的角度计算出点到直线的距离。编者的意图也就是让同学们通过图形的相关特征出发，拓展解题思路，进一步体会解决问题的多种策略。我们容易用相似法解决（略