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1、§5.2 平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，
2、a
3、＝.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)
4、，则＝(x2－x1，y2－y1)，
5、
6、＝.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( × )(2)在△ABC中，向量，的夹角为∠ABC.( × )(3)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )(4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( √ )(5)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条
7、件可表示成＝.( × )(6)已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝(，1＋sinθ)，若a∥b，则θ等于45°.( × )2．已知点A(6,2)，B(1,14)，则与共线的单位向量为( )A．(，－)或(－，)B．(，－)C．(－，)或(，－)D．(－，)答案 C解析 因为点A(6,2)，B(1,14)，所以＝(－5,12)，
8、
9、＝13，与共线的单位向量为±＝±(－5,12)＝±(－，)．3．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，
10、OC
11、＝2，且∠AOC＝，设＝λ＋(λ∈R)，则λ的值为( )A．1B.C.D.答案 D解析 过C作C
12、E⊥x轴于点E(图略)．由∠AOC＝，知
13、OE
14、＝
15、CE
16、＝2，所以＝＋＝λ＋，即＝λ，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝.4．在▱ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则向量的坐标为__________．答案 (－3，－5)解析 ∵＋＝，∴＝－＝(－1，－1)，∴＝－＝－＝(－3，－5)．5．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足＝＋，则＝________.答案 解析 ∵＝＋，∴－＝－＋＝(－)，∴＝，∴＝.题型一 平面向量基本定理的应用例1 在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝
17、t，试求t的值．思维启迪 根据题意可选择，为一组基底，将，线性表示出来，通过＝t建立关于t的方程组，从而求出t的值．解 ∵＝＋，∴3＝2＋，即2－2＝－，∴2＝，即P为AB的一个三等分点(靠近点A)，如图所示．∵A，M，Q三点共线，∴设＝x＋(1－x)＝＋(x－1)，而＝－，∴＝＋(－1).又＝－＝－，由已知＝t可得，＋(－1)＝t(－)，∴，解得t＝.思维升华 平面向量基本定理表明，平面内的任意一个向量都可用一组基底唯一表示，题中将同一向量用同一组基底的两种形式表示出来，因此根据表示的“唯一性”可建立方程组求解． 如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋
18、，则实数m的值为________．答案 解析 设
19、
20、＝y，
21、
22、＝x，则＝＋＝－，①＝＋＝＋，②①×y＋②×x得＝＋，令＝，得y＝x，代入得m＝.题型二 平面向量的坐标运算例2 已知A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)，D(－2,3)，(1)求＋2－3；(2)设＝3，＝－2，求及M、N点的坐标．思维启迪 (1)直接计算、、的坐标，然后运算；(2)根据向量的坐标相等列方程求点M，N的坐标．解 (1)∵A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)，D(－2,3)，∴＝(－2－1,3＋2)＝(－3,5)，＝(－2－2,3－1)＝(－4,2)，＝(3－2,2－1)＝(1,
23、1)，∴＋2－3＝(－3,5)＋2(－4,2)－3(1,1)＝(－3－8－3,5＋4－3)＝(－14,6)．(2)∵＝3，＝－2，∴＝－＝－2－3＝－2＋3，由A、B、C、D点坐标可得＝(3,2)－(1，－2)＝(2,4)．∴＝－2(1,1)＋3(2,4)＝(4,10)．设M(xM，yM)，N(xN，yN)．又＝3，∴－＝3(－)，∴(xM，yM)－(3,2)＝3[(1，－2)－(3,2)]＝(－6，－12)．∴xM＝－3，yM＝－10，∴M(－3，－10)．又＝－2，即－＝－2，∴(xN，yN)－(3,2)＝－2(1,1)，∴xN＝1，yN＝0，∴N(1,0)
