大学《高等数学》知识点梳理(全册)

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1、大学高等数学知识点整理公式，用法合集极限与连续一.数列函数:1.类型:(1)数列:*;*(2)初等函数:(3)分段函数:*;*;*(4)复合(含)函数:(5)隐式(方程):(6)参式(数一,二):(7)变限积分函数:(8)级数和函数(数一,三):2.特征(几何):(1)单调性与有界性(判别);(单调定号)(2)奇偶性与周期性(应用).3.反函数与直接函数:二.极限性质:1.类型:*;*(含);*(含)342.无穷小与无穷大(注:无穷量):3.未定型:4.性质:*有界性,*保号性,*归并性三.常用结论:,,,,,,,,四.必备

2、公式:1.等价无穷小:当时,;;;;;;;2.泰勒公式:(1);(2);(3);(4);(5).五.常规方法:34前提:(1)准确判断(其它如:);(2)变量代换(如:)1.抓大弃小,2.无穷小与有界量乘积()(注:)3.处理(其它如:)4.左右极限(包括):(1);(2);;(3)分段函数:,,5.无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注:非零因子)6.洛必达法则(1)先”处理”,后法则(最后方法);(注意对比:与)(2)幂指型处理:(如:)(3)含变限积分;(4)不能用与不便用7.泰勒公式(皮亚诺余项):处理和式中的无穷小8

3、.极限函数:(分段函数)六.非常手段1.收敛准则:(1)(2)双边夹:*,*(3)单边挤:***2.导数定义(洛必达?):343.积分和:,4.中值定理:5.级数和(数一三):(1)收敛,(如)(2),(3)与同敛散七.常见应用:1.无穷小比较(等价,阶):*(1)(2)2.渐近线(含斜):(1)(2),()3.连续性:(1)间断点判别(个数);(2)分段函数连续性(附:极限函数,连续性)八.上连续函数性质1.连通性:(注:,“平均”值:)2.介值定理:(附:达布定理)(1)零点存在定理:(根的个数);(2).34第二讲:导

4、数及应用(一元)(含中值定理)一.基本概念:1.差商与导数:;(1)(注:连续))(2)左右导:;(3)可导与连续;(在处,连续不可导;可导)2.微分与导数:(1)可微可导;(2)比较与的大小比较(图示);二.求导准备:1.基本初等函数求导公式;(注:)2.法则:(1)四则运算;(2)复合法则;(3)反函数三.各类求导(方法步骤):1.定义导:(1)与;(2)分段函数左右导;(3)(注:,求:及的连续性)2.初等导(公式加法则):(1),求:(图形题);(2),求:(注:)34(3),求及(待定系数)3.隐式()导:(1)存

5、在定理;(2)微分法(一阶微分的形式不变性).(3)对数求导法.4.参式导(数一,二):,求:5.高阶导公式:;;;注:与泰勒展式:四.各类应用:1.斜率与切线(法线);(区别:上点和过点的切线)2.物理:(相对)变化率速度;3.曲率(数一二):(曲率半径,曲率中心,曲率圆)4.边际与弹性(数三):(附:需求,收益,成本,利润)五.单调性与极值(必求导)1.判别(驻点):34(1);;(2)分段函数的单调性(3)零点唯一;驻点唯一(必为极值,最值).2.极值点:(1)表格(变号);(由的特点)(2)二阶导()注(1)与的匹配

6、(图形中包含的信息);(2)实例:由确定点“”的特点.(3)闭域上最值(应用例:与定积分几何应用相结合,求最优)3.不等式证明()(1)区别:*单变量与双变量?*与?(2)类型:*;**;*(3)注意:单调性端点值极值凹凸性.(如:)4.函数的零点个数:单调介值六.凹凸与拐点(必求导!):1.表格;()2.应用:(1)泰勒估计;(2)单调;(3)凹凸.七.罗尔定理与辅助函数:(注:最值点必为驻点)341.结论:2.辅助函数构造实例:(1)(2)(3)(4);3.有个零点有个零点4.特例:证明的常规方法:令有个零点(待定)5.

7、注:含时,分家!(柯西定理)6.附(达布定理):在可导,,,使:八.拉格朗日中值定理1.结论:;()2.估计:九.泰勒公式(连接之间的桥梁)1.结论:;2.应用:在已知或值时进行积分估计十.积分中值定理(附:广义):[注:有定积分(不含变限)条件时使用]第三讲:一元积分学一.基本概念:341.原函数:(1);(2);(3)注(1)(连续不一定可导);(2)(连续)2.不定积分性质:(1);(2);二.不定积分常规方法1.熟悉基本积分公式2.基本方法:拆(线性性)3.凑微法(基础):要求巧,简,活()如:4.变量代换:(1)常

8、用(三角代换,根式代换,倒代换):(2)作用与引伸(化简):5.分部积分(巧用):34(1)含需求导的被积函数(如);(2)“反对幂三指”:(3)特别:(*已知的原函数为;*已知)6.特例:(1);(2)快速法;(3)三.定积分:1.概念性质:(1)积分和式(可积的必要条件:有界,充分条件