2009年全国高中数学联赛河南省预赛试题及答案

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1、声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》2009年全国高中数学联赛河南省预赛2009年全国高中数学联赛河南省预赛由河南省数学竞赛组织委员会主办并具体组织活动，并由河南省数学竞赛组织委员会命题。试题所涉及的知识范围不超出现行《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学内容和要求，在方法的要求上有所提高，主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况，以及综合、灵活运用知识的能力，适当考虑全国联赛加试对参赛学生的要求。试题包括10道填空题和4道解答题，全卷满分100分，考试时间为150分钟。竞赛活动时间为2009年5

2、月11日（星期日）上午，由各地市教研室安排考试并组织阅卷，参加河南省预赛的考生约10万（高一、高二各5万多）人，并从中选拔出2千多名学生参加于2009年10月11日举行的全国高中数学联赛.2009年全国高中数学联赛河南省预赛高二竞赛试题第8页共8页声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》试题一、填空题（每小题5分，共50分）1.动点满足（其中是常数），那么点M的轨迹是.2.单位正方体ABCD-A1B1C1D1中，用AB1C、BC1D、CD1A、DA1B、A1BC1、B1CD1、C1DA1、D1AB1这八个面去截这

3、个单位正方体，则含正方体中心的那一部分的体积为.3.设，、都为大于零的常数，则的最小值为.4.在正三棱锥中，为△内（含边界）一动点，且点到三个侧面、、的距离成等差数列，则点的轨迹是.5.已知数列的通项公式为（），其前项和为，则在数列，，…，中，有理数项共有项.6.已知，过任作一条直线交抛物线于、两点，若为定值，则=.7.若，且，则满足上述条件的的最小值为.8.四面体A-BCD中，AB=CD=5，AC=BD=，AD=BC=，则四面体A-BCD的外接球半径为.9.平面直角坐标系中，点集，则点集M所覆盖的平面图形的面积为.10.5个人互相传球，要求接球后马上传给别人，由甲开始作为第一次传球，

4、则经过4次传球后又传回到甲手中的不同传球方法种数为.2009年全国高中数学联赛河南省预赛高二竞赛试题第8页共8页声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》二、解答题（本题50分）11.（12分）设，若不等式在区间[1，5]上无解.（1）求的值；（2）求所有的实数对.12.（13分）已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，侧面PAB、PBC、PCA与底面ABC所成的二面角的平面角的大小分别为、、，底面△ABC的面积为。（1）证明：；（2）若，求该三棱锥的体积。13.（12分）已知抛物线，以为直角顶点作

5、该抛物线的内接直角三角形.（1）求证：直线AB过定点；（2）过点M作AB的垂线交AB于点N，求点N的轨迹方程.14.（13分）设集合，选择I的两个非空子集A和B，使B中最小的数大于A中最大的数，记不同的选择方法种数为，显然.（1）求；（2）记数列的前n项和为，求.解答1.直线提示：动点的几何意义是到定点的距离等于到定直线l：的距离.因为，所以点的轨迹是过且垂直l的直线.2.提示：含正方体中心的部分为以正方体各面中心为顶点的正八面体，其体积为2009年全国高中数学联赛河南省预赛高二竞赛试题第8页共8页声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版《高中数学联赛

6、备考手册（预赛试题集锦）》.3.提示解：.4.一条线段提示：因为三个侧面、、的面积相等，且点到这三个侧面的距离成等差数列,所以，所以.即,点M的轨迹是经过△ABC的重心并与BC平行的一条线段.5.43提示：由得,因为,所以….因此，，…，中只有43个有理项.6.p提示：设过的直线为代入，整理得2009年全国高中数学联赛河南省预赛高二竞赛试题第8页共8页声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》,所以.,则,显然只有=p成立.7.提示：作出、的角的终边,因为,所以的最小值为.8.提示：构造棱长分别为3、4、5的长方体

7、，则四面体A-BCD的外接球即为长方体的外接球，所以，.9.提示：由得，所以点M的轨迹是圆心在单位圆上，半径为1的动圆，故所求面积为.10.52提示：记5个人按该规则n次的不同方法种数为，则，，且，易求得.11.假设存在这样的实数对（m，n），则，对一切恒成立，分别取x=1,2,3得，2009年全国高中数学联赛河南省预赛高二竞赛试题第8页共8页声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛