高中数学-解题技巧大全——高考

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1、76目录简介第一章高中数学解题基本方法一、换元法3二、配方法7三、待定系数法四、定义法19五、归纳法…3六、参数法28七、反证法he消去法八、分析与综合法特殊he一般法九、类比与归纳法观察与实验法高中数学常用的数学思想5一、数形结合思想35二、分类讨论思想…41三、函数与方程思想…47四、转化（化归）思想…54第二章高考热点问题和解题方法…59一、应用问题……………59二、探索性问题……………71一、高考数学试卷分析…………………………二、高考模拟试卷…………………………三、答案……………………………………第一章高中数学解题基本方法7676二、换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用

2、一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或

3、者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝＋的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sinα，α∈[0,]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x＋y＝r（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。均值换元，如遇

4、到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,]。Ⅰ、再现性题组：1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。2.设f(x＋1)＝log(4－x)（a>1），则f(x)的值域是_______________。3.已知数列{a}中，a＝－1，a·a＝a－a，则数列通项a＝___________。4.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。5.方

5、程＝3的解是_______________。6.不等式log(2－1)·log(2－2)〈2的解集是_______________。7676【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－,]，则y＝＋t－，对称轴t＝－1，当t＝，y＝＋；2小题：设x＋1＝t(t≥1)，则f(t)＝log[-(t-1)＋4]，所以值域为(－∞,log4]；3小题：已知变形为－＝－1,设b＝，则b＝－1,b＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以a＝－；4小题：设x＋y＝k，则x－2kx＋1＝0,△＝4k－4≥0,所以k≥1或k≤－1；5小题：设3＝y，则3y＋2y－1＝0,解得y＝，所以x＝－1；6小题：设

6、log(2－1)＝y，则y(y＋1)<2，解得－2

7、

8、≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。【另解】由S＝x＋y，设x＝＋t

9、，y＝－t，t∈[－，]，7676则xy＝±代入①式得：4S±5=5，移项平方整理得100t+39S－160S＋100＝0。∴39S－160S＋100≤0解得：≤S≤∴＋＝＋＝＝【注】此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S＝x＋y与三角公式cosα＋sinα＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S＝x＋y而按照均值换元的思路，设x＝＋t、y＝－t