高考文科数学命题热点名师解密专题：两招破解平面向量难题

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1、一．【学习目标】1．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题方法总结二．【平面向量解题方法规律】1.用向量解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.2.应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观察条件和结构，选择使用向量的某些性质解决相应的问题，如用数量积解决垂直、夹角问题，用三角形法则、模长公

2、式解决平面几何线段长度问题，用向量共线解决三点共线问题等，总之，要应用向量，如果题设条件中有向量，则可以联想性质直接使用，如果没有向量，则更需要有向量工具的应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题.3.几点注意事项(1)在处理三点共线问题时，转化为两个向量共线解决，需说明两个向量有公共点，两直线不能平行，只能重合.(2)在解决夹角问题时，应注意向量的方向，向量的夹角与所求角可能相等，也可能互补.(3)证明垂直问题一般要经过向量的运算得到数量积a·b＝0，尽量用坐标运算.三．【平面向量题型分析】（一）平面向量基本定

3、理的应用例1．设为所在平面内一点，若，，则（）A．-2B．C．D．2【答案】A【解析】由，根据向量运算的“三角形法则”可得，结合，求得的值，从而可得结果.【详解】，，，故选A.【详解】依题，由图易知向量所成角为钝角，所以，所以当最小时，即为向量在向量方向上的投影最小，数形结合易知点P在点D时,最小（如图所示），在三角形ADE中，由等面积可知，所以，从而.所以.故选D.【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义及运算，向量的线性运算，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题.（二）向量中的最值问题例2．设是半径为2的

4、圆上的两个动点，点为中点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】将两个向量，都转化为两个方向上，然后利用数量积的公式和三角函数的值域，求得题目所求数量积的取值范围.练习1．已知是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量满足，则对于任意的最小值为________.【答案】【解析】当且仅当，时，取得最小值此时，取得最小值练习2．在边长为1的正△ABC中，=x，=y，x＞0，y＞0且x+y=1，则•的最大值为（　　）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，由此能求出当时，的最大值为．练习1．在中，过中线的中点任作一直

5、线分别交边、于、两点,设,则的最小值是．【答案】【解析】，∵共线，∴．，当且仅当时等号成立，故最小值为．【名师点睛】本题首先考查向量的线性运算，实质就是求出满足的等量关系，题中唯一的关系就是三点共线，由此联想平面向量的一个定理：是平面的一个基底，，则三点共线．这样只要由平面向量的线性运算把用表示出来就可得的等量关系．然后只要应用“1”的代换结合基本不等式可求得最值．练习2．如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线于点，若，，则的最小值是.【答案】考点：1、向量的概念及几何表示；2、向量数乘运算及几何意义；3

6、、向量数量积的含义及几何意义.方法点睛：由向量减法法则可知，代入已知条件得到，再把已知条件，代入得到，根据三点共线得，利用均值不等式得到，而，从而求得的最小值是.练习3．在四面体中，点，分别为，的中点，若，且，，三点共线，则A．B．C．D．【答案】B（七）坐标法解决向量问题例7．如图，在矩形中，，，点为的中点，如果，那么的值是__________．【答案】9【解析】建立如图所示的直角坐标系，则,∴,∴.练习2．如图，为△的外心，为钝角，是边的中点，的值（）A．4B.．6C．7D．5【答案】D练习3．是平面上的一定点，是

7、平面上不共线的三点，动点满足，，则动点的轨迹一定经过的（）A．重心B．垂心C．外心D．内心【答案】B【解析】解出，计算并化简可得出结论．【详解】λ（），∴，∴，即点P在BC边的高上，即点P的轨迹经过△ABC的垂心．故选：B．练习4．已知点O是锐角△ABC的外心，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，A=，且，则λ的值为（　　）A．B．﹣C．D．﹣【答案】D【解析】由题意画出图形，设的外接圆半径为，根据三角形外心的性质可得：，，由向量的线性运算和向量数量积的运算，求出和，在已知的等式两边同时与进行数量积运算，代入后由正弦

8、定理化简，由两角和的正弦公式和三角形内角和定理求出λ的值．【点睛】本题主要考查了利用线性规划求解最优解及目标函数的最大值，解题的关键是正确作出不等式组所表示的平面区域，并能判断出取得最大值时的最优解的位置．利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截