高考文科数学命题热点名师解密专题：空间几何体的表面积和体积

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1、专题20空间几何体的表面积和体积解题方法一．【学习目标】1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，掌握柱、锥的简单几何体性质．2．了解空间图形的两种不同表示形式(三视图和直观图)，了解三视图、直观图与它们所表示的立体模型之间的内在联系．3．能画出简单空间图形及实物的三视图与直观图，能识别三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．4．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图．二．【知识要点】1.三视图空间几何体的三视图由平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等

2、的，三视图包括正视、侧视、俯视．2．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段在直观图中平行于x′轴、y′轴；已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．3.有关斜二测画法的常用结论与方法(1)用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积S′与原平面图形的面积S之间的关系是S′＝S.(2)对于图形中

3、与x轴、y轴、z轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决，即过端点作坐标轴的平行线段，再借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置.4.有关三视图的基本规律(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求是：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高.(2)由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相等、高平齐”的基本原则.5..特殊多面体的结构特征(1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱.特别地，当底面是正多边形时，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱).(2)正棱锥：指的是底面是正多边形，且顶点在

4、底面的射影是底面中心的棱锥.特别地，各条棱均相等的正三棱锥又叫正四面体.(3)平行六面体：指的是底面为平行四边形的四棱柱.三．高考题型典例及训练（一）空间几何体例1．如图，透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题：①有水的部分始终呈棱柱形；则多面体的体积等于四棱锥的体积与三棱锥的体积和，多面体的体积等于四棱锥的体积与三棱锥的体积和．因为四棱锥的高是四棱锥的高的2倍，底面积相等，所以四棱锥的体积是四棱锥的体积的2倍；因为三棱锥的底面是三棱锥的底面面积的倍，高

5、是3倍，所以三棱锥的体积是三棱锥的体积的4倍，设论证的体积为，则三棱锥的体积为，四棱锥的体积是，所以多面体的体积是，又多面体的体积等于，所以多面体的体积与多面体的体积比等于.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，几何体的体积的应用问题，其中解答中合理利用椎体的体积公式，以及多面体的结构特征，合理转化与计算是解本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力和逻辑思维能力，属于中档试题．（二）组合体问题例2．正四面体的所有棱长均为12，球是其外接球，分别是与的重心，则球截直线所得的弦长为__________．【答案】【解析】如图，将

6、正四面体A—BCD补全为正方体，则正方体的棱长为，所以球是正方体的外接球，其半径。设正四面体的高为，则，故。又，所以到直线的距离为，因此球截直线所得的弦长为。答案：点睛：（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．（2）对于一些不规则的图形，要注意补形法在解题中的应用，通过把图形补成长方体或正方体可使得问题的解决变得简单易行。练习1．已知四面体中，，，，平面，则四面体的内切球半径为__________．【答案】【解析】由题意，已知平面，，所以，由勾股定理得到，即为等边三角形，为等

7、腰三角形，可求得四面体的体积为根据等体积法有：，几何体的表面积为所以，可解得.点睛：本题考查了组合体问题，其中解答中涉及到空间几何体的结构特征，三棱锥锥的体积计算与体积的分割等知识点的应用，其中充分认识空间组合体的结构特征，以及等体积的转化是解答此类问题的关键.练习2．如图，在棱长为4的正方体中，，分别为、的中点，点是上一点，且平面，则四棱锥外接球的体积为____________.【答案】点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接

8、球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且