数学本科专业毕业论文-矩阵的分解

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1、学士学位论文矩阵的分解学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向代数学学生姓名学号200920134781指导教师姓名指导教师职称教授2014年4月16日1矩阵的分解摘要众所周知，矩阵是代数学中的一个重要概念，它的出现促进了代数学的快速发展．矩阵分解作为矩阵理论中非常重要的一部分，是指将一个矩阵分解成一些特殊类型矩阵的乘积（或和）的形式．矩阵分解的内容丰富，形式多样，是解决某些线性代数问题的重要工具．本文主要从矩阵的QR分解、满秩分解、三角分解和奇异值分解等方面对矩阵的分解作了论述，首先给出了这几种分解形式的定义以及相关性质，然后给出了它们各自的具体的分解方法，最后通过例题

2、的形式将各分解方法呈现出来.关键词：矩阵；分解；QR分解；三角分解；满秩分解2TheDecompositionoftheMatrixABSTRACTAseveryoneknows，matrixisoneofthemostimportantconceptsinalgebra，whoseappearancepromotesthedevelopmentofalgebra．Whileasasignificantpartofthetheoryofmatrix，thedecompositionofmatrixaimsatdecomposingamatrixintotheproduct(o

3、rsum)ofseveralspecifickindsofmatrices．Thedecompositionofmatrixnotonlyconcludesrichcontentsandforms，butalsoworksasoneofthesignificantmethodsindealingwithsomelinearalgebraproblems．Inthispaper，thedecompositionofmatrixismainlyintroducedfromtheaspectsmentionedbelow，suchasQRdecomposition，fullrank

4、decomposition，LUdecompositionandsoon．Firstly，thedefinitionsandrelatedpropertiesoftheseformsofdecompositionaregiven．Andthen，specificdecompositionwaysoftheirsareillustrated．Finally，thesedecompositionmethodsareclearlypresentedbytheformsofsomeexamples．Keywords：Matrix；Decomposition；QRDecompositi

5、on；LUMatrixDecomposition；FullRankDecomposition2目录摘要IABSTRACTII目录III一、引言1二、矩阵的QR分解1（一）矩阵QR分解的基本概念及定理1（二）矩阵QR分解的常用方法及应用举例1三、矩阵的三角分解8（一）矩阵三角分解的基本概念及定理8（二）矩阵三角分解的常用方法及应用举例9四、矩阵的满秩分解15（一）矩阵满秩分解的基本概念及定理15（二）矩阵满秩分解的常用方法及应用举例15五、矩阵的奇异值分解17（一）矩阵奇异值分解的基本概念及定理17（二）矩阵奇异值分解的常用方法及应用举例18六、结论20参考文献20致谢212一

6、、引言矩阵分解是代数学中的一个重要概念．把一个矩阵分解成若干个矩阵的和或乘积的形式是解决某些线性代数问题的重要方法，如解矩阵方程和最小二乘问题等．本文将从矩阵的QR分解，满秩分解，三角分解以及奇异值分解等方面对矩阵分解进行探讨．对于本文中所涉及到的一些概念，我们做如下规定：用表示实数域；表示实数域上维向量空间；表示复数域上维向量空间；表示实数域上矩阵空间；表示复数域上矩阵空间；表示单位矩阵；表示矩阵（或向量）的转置；表示矩阵（或向量）的共轭转置；表示阶对角矩阵．二、矩阵的QR分解（一）矩阵QR分解的基本概念及定理定义对于阶复矩阵，若满足，则称是酉矩阵．定义如果方阵可以分解成一

7、个酉（正交）矩阵与一个复（实）上三角矩阵的乘积，即，则称上式为的一个分解．定理如果阶方阵为非奇异实(复)矩阵，则存在正交(酉)矩阵和非奇异实(复)上三角矩阵，使得且除去相差一个对角元绝对值(模)全等于1的对角矩阵因子外，分解式是唯一的．—21—（二）矩阵QR分解的常用方法及应用举例1、利用正交化方法进行分解方法：1．写出矩阵的列向量组；2．把列向量组按照方法进行正交化；3．得出矩阵的分解．例2.1用正交化方法求矩阵的分解．解令，，．将正交化得记，则，再将单位化，得．令=，记，则，=，则有．2、变换法求矩