毕业论文--浅谈有限覆盖定理的若干应用.doc

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1、学号：哈尔滨师范大学学士学位论文题目浅谈有限覆盖定理的若干应用学生指导教师房维维讲师年级专业数学与应用数学系别数学系学院哈尔滨师范大学学士学位论文开题报告论文题目：浅谈有限覆盖定理的若干应用学生姓名：指导教师：房维维讲师年级：专业：数学与应用数学2011年3月说明本表需在指导教师和有关领导审查批准的情况下，要求学生认真填写。说明课题的来源（自拟题目或指导教师承担的科研任务）、课题研究的目的和意义、课题在国内外研究现状和发展趋势。若课题因故变动时，应向指导教师提出申请，提交题目变动论证报告。课题来源：由指导教师提供选题课题研究的目的和意义：一元微积

2、分学中最基本的公式—牛顿,莱布尼兹公式表明:函数在区间上的定积分可通过原函数在这个区间的两个端点处的值来表示.无独有偶,在平面区域上的二重积分也可以通过沿区域的边界曲线上的曲线积分来表示,这便是我们要介绍的格林公式.1,单连通区域的概念2,区域的边界曲线的正向规定此定理在数学的许多领域中都有广泛的应用，在科学研究及日常生活中也有广泛的应用，从而推动了科学的发展，给人们的生活带来很多便利。国内外同类课题研究现状及发展趋势：有限覆盖定理是实数完备性定理中唯一一个反映整体性质的定理，在数学分析中占有重要的地位，在过去的几十年里关于它的研究已经取得了很大

3、的进展，例如天津工程师范学院理学院雷超，从拓扑的观点出发，把有限覆盖定理进行了加强，使得它在证明聚点定理时更加方便，也使其应用起来更加便利。目前，数学界的几个著名专家正在从不同的角度致力于探讨这一课题，相信这个领域在未来几年里会有一个快速发展。课题研究的主要内容和方法，研究过程中的主要问题和解决办法：内容：介绍适用有限覆盖定理的题目类型以及怎样在证明中应用有限覆盖定理。方法：收集资料，上网查询，与指导老师探讨。主要问题：怎样构造一个与欲证结论有关的覆盖，有限覆盖定理与其它实数基本定理的区别及联系。解决办法：请求老师帮助，查阅资料。课题研究起止时间

4、和进度安排：1：选题2011年11月9日——11月10日2：收集资料2011年11月11日—11月24日3：开题2011年11月25日——12月9日4：形成初稿2011年12月10日——2012年3月30日5：完成论文2012年4月1日——4月30日指导教师审查意见：指导教师（签字）　　　　年月教研室（研究室）评审意见：____________教研室（研究室）主任（签字）　　　　年月院（系）审查意见：____________院（系）主任（签字）　　　　年月学士学位论文题目浅谈有限覆盖定理的若干应用学生指导教师房维维讲师年级专业数学与应用数学系别数

5、学系学院哈尔滨师范大学2011年4月目录摘要1关键词1一、预备知识1二、有限覆盖定理的若干应用2应用1、证明半连续及绝对连续函数的有关性质2应用2、证明级数在闭区间上的有关性质5应用3、证明闭区间上连续函数的某些性质7应用4、运用反证法利用有限覆盖定理证明问题9应用5、证明实数连续性的其它性质10应用6、证明含参变量积分问题13参考文献：14英文摘要15浅谈有限覆盖定理的若干应用王欣摘要：本文通过半连续函数及函数项级数等有关性质的证明，以及该定理在函数的连续及函数级数中一致收敛证明的实例，介绍了有限覆盖定理的使用方法，并具体列举了几种不同的命题，

6、体现了它在证明命题中的若干技巧。关键词：有限覆盖定理；半连续；函数项级数有限覆盖定理是实数完备性定理中唯一一个反映整体性质的定理，也是一个重要定理。它揭示了闭区间的一个本质性质：紧致性，它在极限理论中特别是连续性问题中起着重要作用。它的着眼点是闭区间的整体，而其它几个等价定理着眼点是一点的局部，因为它们在形式上的这种区别，所以在证明问题中也就具有不同的用途。有限覆盖定理的作用是从覆盖闭区间的无限个开区间中选有限个开区间也覆盖这个闭区间，由“无限转化为有限”的质的变化。它对证明函数的某些性质提供了有效的方法。所以，凡是证明的结论涉及到闭区间的问题，

7、可考虑使用有限覆盖定理。但是，应用反证法，整体（即闭区间）与局部（即一点）又可以转化，所以否定了局部又回到了闭区间整体，从而也能够应用有限覆盖定理。本文即从这些问题出发，给予详细地叙述。一、预备知识定义1.1开覆盖的定义：设为数轴上的点集，为开区间的集合，（即中每一个元素都是形如的开区间).若中的任何一点都含在至少一个开区间内，则称为的一个开覆盖，或简称覆盖.定义1.2半连续函数的定义：有一类函数并不连续，却具有一些连续函数相近的性质，这类函数就是所谓的半连续函数。任给,总存在,只要恒有，则称在点处上半连续。相应地，若只要恒有，则称在点处下半连续

8、。定义1.3绝对连续函数的定义：设是的函数，若对任意，存在，使得对于中的任意一组分点：，只要，便有，则称是上的绝对收敛函数，或称在15上