本科毕业论文-关于高阶导数求法及应用的探讨

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1、丽水学院2011届学生毕业论文关于高阶导数求法及应用的探讨数理学院数学与应用数学数072本孔晓燕指导老师:兰春霞摘要：本文对高阶导数的求解技巧、拓展通式及在其他学科领域的应用等方面作了具体阐述。关键词：高阶导数；技巧；应用极值问题是大学数学的重点内容之一，在高中的数学学习中也占了一定的比例。而求导数是这一部分的基础。求高阶导数是求导问题的一个难点，解决这一问题的关键是找到合适的求解方法。高阶导数在工程学、经济学和物理学都有广泛的应用，对其进行研究以便提高对导数更深层次的认识，有助于问题的发现和解决。事实上，高阶导数的求解并不容易，本文通过对微积分的重新

2、认识、整理、对其中的高阶导数求法进行总结、归纳，对已有的方法深入理解、剖析，从高阶导数的求解技巧、拓展公式和应用等方面作具体阐述。1高阶导数的求解技巧阅读了大量文献后，对微积分的高阶求导的发展史、特点及其相关知识、重要性有了一定的了解，对高阶导数的求解技巧可概括为直接法、间接法（有理分式的函数（真分式）、三角函数、隐函数）、公式法及其运用。以下作具体介绍。1.1直接法求出函数的一阶、二阶、三阶等导数后，分析归纳出规律性，从而写出阶导数的表达式。例1：求的n阶导数.解：对于，由三角函数的求导公式得继续求导，将出现周而复始的现象。为了得到一般n阶导数公式，

3、可将上述导数公式改写为14丽水学院2011届学生毕业论文一般地，可推得以后作为公式使用，同理推出一系列常用函数的阶导数公式：(1);（是正整数）。(2).(3);.(4).(5).(6).例2：设解：用直接法。，依此类推，得(1)直接法的特点是：对比较简单的函数来说很方便；其缺点：对较复杂函数的高阶求导结果不容易推导。1.2间接法通过恒等变形将函数分解成常用函数或其代数和，进而利用常用函数的阶导数公式求出它的阶导数。1.2.1有理分式的函数（真分式）14丽水学院2011届学生毕业论文将其分解成部分分式之和，然后用的阶导数公式。例3：设解：先将有理分式分

4、解为部分分式之和利用已知的结果有(2)1.2.2三角函数利用三角恒等式将其化成的代数和的形式，然后用的阶导数的公式。例4：已知，求。解：，用的n阶导数公式，得.(3)1.2.3隐函数假设由方程确定是的函数，若求时，只需对上式求次关于的导数，方法类似于隐函数微分法，但要注意式中的及其各阶导数等都是的函数。最后从个求导后的等式中解出。例5：设方程确定是的函数，求.解：方程可化为14丽水学院2011届学生毕业论文两边对求导，得即(4)由(4)式解得再对(4)两边关于求导，得(5)由(5)式解得即再对(5)两边关于求导，得(6)由(6)式解得将所解代入上式得.

5、1.3公式法1.3.1莱布尼兹公式法高等数学中关于两个函数乘积的高阶导数,莱布尼兹公式已经给出了著名的高阶导数公式,在求解某些函数的高阶导数值时,此公式有时可以给计算起到了发现一般规律的作用。求函数的高阶导数一般的方法是采用由低到高逐阶求导的方法,这种方法求解高阶导数的一般规律时有时很难归纳,如果将所求的单个函数转化到乘积形式,可以借助莱布尼兹公式去发现函数的高阶导数的一般规律。一阶导数的运算法则可直接移植到高阶导数，容易看出对于乘法求导法则，设，则其中。这个公式称为莱布尼兹公式。例6：设，求。14丽水学院2011届学生毕业论文解：令由已知公式有应用莱

6、布尼兹公式（）得(7)例7：设用莱布尼兹公式求.解：令，由已知公式有应用莱布尼兹公式得(8)通过例7与例2的同题异法的比较，知道一题可有多解，应该有选择地进行求解以求方便。1.3.2泰勒展式法若函数按的幂展开的幂级数，则必是函数的Taylor展示：因此，若得到展开式，特别的，则知例8:设,求.解：，再将其两端从0到积分可得：，故.(9)1.3.3欧拉公式法例9：设14丽水学院2011届学生毕业论文解：由Euler公式，得故(10)2高阶导数的拓展通式高阶导数区别于一般导数，有其特有的新型表达及一系列拓展通式，并非统一不变或者定势思维，需要学者自己的探究

7、和钻研，在前人的基础上进一步发展高阶导数。2.1多个函数乘积的高阶导数通式定理1设（以下简记为）都具有阶导数，那么，也具有阶导数且有公式如下：(11)其中，是个非负整数，求和是对所有的进行的。证明：对自然数使用归纳法时，由公式(12)(12’)（其中是对适合的进行的），此时命题成立。14丽水学院2011届学生毕业论文假设，命题成立即其中是对所有的非负整数取和的，为任意正整数。当时，记，使用公式(12’)和假设命题有（13）其中，是对所有适合的非负整取和的。令，则，此时，（13）变成其中是对所有适合的非负整数取和的，时，命题成立。由数学归纳法知，当为任意

8、自然数，定理成立，证毕。当m=2时，它是著名的莱布尼兹公式。显然，该定理是莱布尼兹公式的推广。