数值分析上机实习题及答案

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1、[数值分析]2017-2018第二学期上机实习题111：编程计算，其中c=4.4942´10307，给出并观察计算结果，若有问题，分析之。解：matlab编程如下：图一：编程图二：运行结果Matlab中，formatlongg对双精度，显示15位定点或浮点格式，由上图可知，当输入较小的n值（n分别取10,100,1000,100000,100000000）的时候，结果后面的指数中总是含有e-308，这和题目中的C值很相似，我认为是由于分母中的C值相对于n值过大，出现了“大数吃小数”的现象，这是不符合算法原则的。2：

2、利用牛顿法求方程于区间的根，考虑不同初值下牛顿法的收敛情况。解：牛顿法公式为：xk+1=xk-xk-lnxk-21-1xk利用matlab编程11当输入初值=3的时候并不能收敛。输入2.8依旧不能收敛。考虑利用plot函数绘制函数f=x-lnx-2的图像，发现其在区间[2,4]内并无根。3：给出在xk=0+0.25k处的值yk,k=0,1,2,3,4.请给出由节点xk确定的三次样条插值函数S(x),使其满足条件：S/(0)=0,S/(1)=-0.074,分析逼近效果如何？解：根据李庆扬《数值分析》第五版Page43

3、的公式可以计算得到三次样条插值。11根据6.11和6.12式解得系数。d058.5366d117.15728d28.67705d32.0934d40.905136列方程A*M=B；A=B=解得M为M=由此和6.8式可得其三次样条函数如下：11得到最终的插值结果如下：总的来说，利用三次样条插值的精度还是比较高的。4:给出一个通用多项式拟合程序，输入部分：数据组个数为n,拟合的误差限e输出部分：多项式次数、系数向量、拟合的实际误差。11function[Aceff]=zxec()x=input('请输入变量x：');y

4、=input('请输入变量y：');e=input('请输入拟合限差：');fori=1:10A=polyfit(x,y,i);%A为拟合多项式系数向量Y=polyval(A,x);%Y为拟合多项式ifsum((Y-y).^2)

5、2.513.015.6>>[A,c,eff]=zxec请输入变量x：[12345678910]请输入变量y：[1.33.54.25.07.08.810.112.513.015.6]请输入拟合限差：2.5011.5382-0.36002.3447A=1.5382-0.3600c=1eff=2.3447>>实例拟合结果如下图所示：11由以上拟合结果可知，在给定的限差的情况下，拟合结果为一次，得到的实际误差达到2.3447，可见拟合效果并不是很理想。如果继续缩小误差限差值，那么拟合次数将会增加，拟合的结果也将会更加趋近于

6、真实结果。5：已知，利用复化梯形公式、复化Simpson公式和Romberg算法求的近似值；并观察实际计算结果，比较它们的收敛速度。解：①复化梯形公式计算结果11分析：从结果中不断改进等分点的个数，可以看出复化梯形公式的结果需要等分至少20点才能开始收敛，若想收敛到精确值，则需要增加区间等分点数。function[Y]=fhdx()n=input('请输入要等分x区间的个数：');h=1/n;s=0;fork=1:n-1x=k*h;y=4/(1+x^2);s=2*y+s;Y=h/2*(6+s);holdon;plo

7、t(x,Y,'r*');gridon;end程序代码：②复化Simpson公式计算结果11function[Y]=fhsimpson()n=input('请输入将x区间等分的个数：');h=1/n;s1=0;s2=0;fork=1:2*n-1x=k*h/2;y=4/(1+x^2);ifmod(k,2)==0s1=s1+2*y;elses2=s2+4*y;endY=h/6*(6+s1+s2);holdon;plot(x,Y,'r*');end分析：从结果图中可以看出对于复化Simpson公式，只需要对区间等分两次（即

8、n=2）就可以得到非常理想的结果，说明复化Simpson公式的收敛速度非常快。程序代码：③Romberg算法11分析：Romberg算法根据给定的限差可以直接得出收敛值，收敛速度快。functions=romberg1(a,b,eps)ifnargin==2eps=1.0^-6;elseifnargin<2errorreturnendt1=10000;t2=