海浪谱分析—相关函数法

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1、海浪谱分析—相关函数法一、基本概念已经提出的海浪频谱很多，其中大部分是由观测到的波要素连同某些假定推导出来的，大部分则利用定点波面记录通过特殊的谱分析方法得到。后一方法是目前得到海浪谱的主要手段。在固定点连续记录到波面，通常认为它是弱平稳的过程，其相关函数为：（1.1）由已有理论可知此过程的单侧谱为（1.2）假定海浪为具有各态历经性的平稳随机过程，可利用过程中的现实（一次波面记录）的离散值计算相关函数（1.3）式中，N为样本容量；为乘积的个数。由此相关函数并参照式（1.2）可得谱的估计值为（1.4）另

2、一方面，我们定义谱密度函数（1.5）对于离散值，（1.6）代入式（1.5），，可得（1.7）当时，上式变为（1.8）而（1.9）式（1.8）右侧称为周期图，它可通过对样本实行离散傅里叶变化得到。因此估计谱通常有两种途径，其一通过相关函数，其二通过周期图。在每一途径中又可采用不同的方法。不管用何法，都要对实测记录取离散值，并进行中心化处理。采样间隔的选取，非常重要。在图（1.1）中，细线代表谱中圆频率为的组成波，今按时间间隔读取波面值，连接这些离散值得粗线所示的圆频率为的波动。容易推想，许多高频率的波动

3、可表现为同一低频的波动。设定义圆频率（1.10）则可证明频率的波动，由于离散化的结果均变现为频率的波动。设都是整数，，则（1.11）图1.1折叠频率说明图这意味着利用波面记录离散值进行谱估计时，将使谱于频率间隔内的能量都全部叠加到间隔内，这不仅使谱值的分布范围缩窄至频率范围内，而且得到的谱值不是真实的。称为Nyquist圆频率或折叠圆频率，而（1.12）叫做Nyquist频率或折叠频率（Foldingfrequency）。因此，估计谱的分布范围取决于的值。事实上，海浪谱通常集中在较窄的频域内，通常可从

4、记录中选择最短波的频率作为谱估计的频率上界，把大于的高频部分切去不计，故叫做切割频率（Cut-offfrequency）。选取时应使（1.13）海浪可视为随机过程，但可供使用的定点波形记录具有下列局限性：<1>记录次数是有限的；<2>记录长度是有限的；<3>计算时使用以一定间隔读取的波面数值。理论上可证明，即使计算本身无误差，由此记录得到的结果并非谱的真值，而是对真值的某种估计，故为了说明估计值接近真值的程度，尚需利用一些统计上的特征量（偏度、方差、置信度等）加以描述。一、由相关函数估计频谱2.1计算

5、相关函数设采样时距为，则式（1.3）的相关函数可改写成（2.1）这样便得到的m+1个值，它们等间隔地分布着，并分别位于。2.2估算谱粗值将式（2.1）代入前文公式以数值积分计算谱值。由于折叠的影响，谱值系在范围内进行计算。等间隔地取m+1个频率。我们的目的就是计算谱于这些频率所具有的值，令代表频率对应的粗谱值，得（2.2）如数值积分中采用梯形公式，谱值为（2.3）此处采用的频率间隔为（2.4）代入式（2.3），得（2.5）2.3谱的平滑以上估计出的谱值是不精确的，由它们给出的谱曲线参差不齐。因为样本容

6、量N是有限的，故式（2.1）计算相关函数时，对于小的，乘积的个数越多，从而的值较可靠；而对于大的，的可靠性较差。为了改进精确度，可令不同的具有不同的权。这种权函数的形式很多，其中一种常用的为（2.6）此权函数乘以式（2.2）中的，最后可得谱值（2.7）对于两个端点频率，可取（2.8）另一种常用的权函数为（2.9）同上，由此权函数可得谱值：（2.10）对于两个端点频率，系数均为0.5.由上可见，此处所谓改进谱的质量，实际上是采用特定的系数，对谱的粗值进行平滑，而权函数称为延时窗，前者叫做哈明（Hammi

7、ng）窗，后者叫做哈宁（Hanning）窗。此权函数的傅里叶变换（2.11）称为谱窗。图2.1为由数值模拟方法得到的相关函数和谱的示例，估计谱时采用了哈明窗。图2.1由数值模拟得到的相关函数和谱2.4确定置信度设都是符合标准正态分布的随机变量，且，则的分布成分布（具有k个自由度）：（2.12）又设平滑后的谱值为，谱的真值为，已证明随机量遵从自由度为k的分布。根据估计谱值的概率分布，可利用置信界限来表示估计值的可靠性。设给定置信水平为（以%表示），则可由分布确定上界和下界，使估计值落入此界限内的概率为。

8、设以代表，为了确定置信界限，我们依分布求出两个正数a和b，使（2.13）从而式（2.13）中的a和b可利用已编制的分布概率表查得。上式可写为或（2.14）上式表明，对于给定的置信水平，置信上上下界分别为（2.15）以上为频率对应的置信界限，各频率的置信界限构成置信带。式（2.14）中的自由度k，因使用的延时窗而异。在海浪谱估计中，常使用Tukey导出的结果，即（2.16）采用与上式最接近的整数。2.5参量的选取谱估计涉及到一系列参量的选取，如样本长度，最