揭密一种三坐标测量机的数学找正技术

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1、揭密一种三坐标测量机的数学找正技术陈重渝白伊川【摘要】：“数学找正”原理的奥密，对很多人来讲始终是个密。本文揭示了数学找正的本质是用数学方法使工件坐标系通过坐标平移和三次绕机器坐标系某轴旋转特定角度的方法，来达到两个坐标系的重合。让三坐标测量机的机器坐标系统采集的坐标值转换为找正后的工件坐标值。文中给出了数学处理方法、计算公式以及编程方法。【关键词】： 三坐标测量机 数学找正三维坐标系 直角坐标球面坐标机器坐标系工件坐标系  坐标系平移坐标系绕轴旋转 坐标系重合数学找正技术是三坐标测量机中应用的重要的、基楚性的技术，其特点是被测工件不用移动位置就能找正。本文介

2、绍的“点对点转换”的数学找正技术在三坐标测量机中得到了广泛应用。所谓数学找正就是把测量点的机器坐标转换为找正后的工件坐标，用数学方法以点对点的方式进行转换。三坐标测量机具有一个精密的三维坐标系统，测量时能得到测量点的精准坐标值（机器坐标）。被测工件上的基准点、基准面、基准线等能构成一个工件坐标系。所谓的“找正”，实质上是使这两个坐标系重合，无论传统的手工找正或是数学找正都是这样。让两个坐标系重合，实际上就是使两个坐标系的原点重合和三个坐标轴重合。数学找正是如何使两个坐标系完全重合的呢？坐标平移可以方便地使两个坐标系原点重合。x=X-X0y=Y-Y0（1）z=Z

3、-Z0三个坐标轴因为是正交的，只要有两个轴重合，剩下的一个轴必然重合！达到两个坐标系的完全重合。数学找正可以分步进行。首先用坐标平移使两个坐标系的原点重合。然后以工件坐标系绕机器坐标系的某轴旋转一个特定的角度，进行三次特定的旋转就能使两个坐标系完全重合。坐标系常用的是直角坐标系，处理坐标旋转，用球面坐标更为直观、方便和简捷。下图表示球面坐标与直角坐标的关系。图1直角坐标与球面坐标可以相互转换。r=(x2+y2+z2)1/2φ*=arccosz/r（2）θ=arctany/x公式（2）为直角坐标转换为球面坐标的计算公式。x=rsinφcosθy=rsinφsin

4、θ（3）z=rcosφ公式（3）为球面坐标转换为直角坐标的计算公式。设P点是工件坐标系（o,x,y,z）中z轴上的一点。测得的机器坐标系坐标（直角坐标）为P（X,Y,Z），用球面坐标记为P（r，φ,θ）。由于P点是工件坐标系z轴上的点，在工件坐标系内应表示为P（0,0,z）（直角坐标）或P（r，0,0）（球面坐标）。造成工件坐标系和机器坐标系坐标值不同的原因是工件未经找正。经数学找正后，我们会看到它们的坐标值会变得相同了。让工件坐标系绕机器坐标系的Z轴旋转负的(90°+θ)角，P点坐标变为：P(r，φ,θ－(90°+θ)）。P(r，φ,-90°）。此时P点转到

5、YOZ平面上。第二次旋转是工件坐标系绕机器坐标系的X轴旋转负的φ角，P点坐标变为：P(r，φ-φ,-90°）。P(r，0,-90°）。（4）这个坐标值表示经过这两次旋转，可以看见线段r与机器坐标系的Z轴夹角φ为零了。线段r与Z轴重合了。根据定义，在φ角为零的情况下，θ角无论是多少都度都无所谓。因为P点向XOY面的投影变成了与原点相重合的点了！用（3）式计算，x,y的值都为零，也说明θ角是多少度都无所谓。在这里（4）式可改写为与其等价的更直观的表达式：P(r，0,0）。（5）以直角坐标表示：P（0，0，(x2+y2+z2)1/2）（5）式表明，P点确实转到了正确

6、的位置上，转到工件坐标系的z轴上，坐标值与它原来在工件坐标系中的坐标值相同。经过两次旋转，原来不在机器坐标系Z轴上的P（X，Y，Z）点确实转到了Z轴上了。也就是说两个坐标系的Z轴重合了。考查一下坐标系旋转时工件坐标系x轴的情况。在图1所示的情况下，即OP在机器坐标系XOY面的投影在1、2象限内的情况。x轴不在XOY面上。它的原点在机器坐标系的原点上（坐标平移后），x轴的正端在XOY面的下面。它与XOY面的夹角应为φ角。我们把着眼点放在考查工件坐标系x轴在坐标旋转时的情况。设两个坐标系Z轴间的夹角为φ0，工件坐标系x轴在机器坐标系XOY面上的投影（xoz面与XO

7、Y面的交线）与X轴的夹角为θ0。这个角我们粗略地看做两个坐标系X轴间的夹角（不太准确）。x轴与XOY面的夹角应为φ0。让工件坐标系绕Z轴旋转负的（θ0+90°），此时x轴转到YOZ面上，x轴的正端在仍XOY面的下面，它在XOY面的投影与Y轴重合。x轴与投影的夹角仍为φ0。随后工件坐标系绕X轴旋转负的φ0后，工件坐标系的x轴与机器坐标系的Y轴反向重合了（x轴的正向指向Y轴的反向），也就是工件坐标系的x轴处在机器坐标系X轴的负的90°方向上。（4）式中的-90°也表明了这层意思，只因P是z轴上的点，φ角才会变为零，-90°才变得无意义。为纠正x、Y轴的错轴反向问题

8、，必须进行第三次旋转！第三次旋转是让工