数学分析教案(华东师大版)第十八章隐函数定理及其应用

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1、第十八章隐函数定理及其应用教学目的：1•理解隐函数定理的有关概念及隐函数存在的条件，进而会求隐函数的导数；2.了解隐函数组的有关概念，理解二元隐函数组存在的条件，了解反函数组存在的条件；3•掌握隐函数的微分法在几何方面等的应用，会把实际问题抽象为条件极值并予以解决。教学重点难点：本章的重点是隐函数定理；难点是隐函数定理的证明。教学时数：14学时§1隐函数■隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法.1.隐函数及其几何意义：以用（益刃■0为例作介绍.2.隐函数的两个问题：i>隐函数的存在性；ii>隐函数的解析性质.二.隐函数存在条件的直观意义：三.隐函数定理：Th1（隐函数存在唯一性定理）若满足下

2、列条件：i>函数代尽力在以为内点的某一区域〃■上连续；ii>耿斗必）=:;（通常称这一条件为初始条件）iii>在〃内存在连续的偏导数哄3；则在点«的某邻域1丿（磊）匚〃内，方程PM-0唯一地确定一个定义在某区间（-a.+«）内的隐函数尸■/（",使得（D/g）■片，.：三（左-0,心时（xB/（x））€U（蛉）且心金）・0・⑵函数/（刀在区间（升-心・*十勿内连续.（证）四.隐函数可微性定理:Th2设函数心力满足隐函数存在唯一性定理的条件，又设在〃内码（比力存在且连续・则隐函数y-/U）在区间（*F内可导，且（证）弓3）例1验证方程F（局刃・〉・*・£金尸・0在点（04）满足隐函数存在唯一性定

3、理的条件，并求隐函数的导数・P149例1例2・其中y-/（x）为由方程宀才-玄&・0所确定的隐函数.求些.P150例2（仿）例3（反函数存在性及其导数）设函数Z-/W在点工:的某邻域内有连续的导函数/◎）,且/仙）■片，-

4、）在一定条件下拟线性化，分析可解出乂和：-的条件，得出以下定理・Th1（隐函数组定理）P153Th4.例1P154例1.三.反函数组和坐标变换：1.反函数组存在定理:Th2（反函数组定理）P155Th52.坐标变换：两个重要的坐标变换.例2,3P156-157例2,3・§3几何应用一.平面曲线的切线与法线：设平面曲线方程为F（x.＞）-0.有切线方程为HgyJ（x-xt）+巧•（喜•法线方程为碍矢必〉尾（辛』•）&-片）・0・例1求Descartes叶形线2（戸■*尹）-9寸・0在点（2J）处的切线和法线・P159例1.二.空间曲线的切线与法平面：1.曲线由参数式给出：切线的方向数与方向余弦.

5、切线方程为X-y■心■丽法平面方程为夠）■02.曲线由两面交线式给出：设曲线上的方程为点*35）在匸上.推导切线公式.[11P209.切线方程为贾5"6法平面方程为1>7芻2"鶉h0.例2P161例2・三.曲面的切平面与法线：设曲面二的方程为押a.”N）・o,点耳（％』•■"•）在壬上.推导切面公式.1]P211.切平面方程为码★丼（EXz-片”斗（£*・升）・0・法定义域线方程为疳希W）例3P162例3.§4条件极值条件极值问题：先提出下例：例要设计一个容积为/的长方体形开口水箱・确定长、宽和高，使水箱的表面积最小・分别以工、宾和二表示水箱的长、宽和高，该例可表述在约束条件砂・了之下求函数2

6、C»+J»）+W的最小值・条件极值问题的一般陈述•二・条件极值点的必要条件:设在约束条件KX丿）■Q之下求函数J=/（X-7）的极值•当满足约束条件的点（屯亠）是函数/（x.y）的条件极值点，且在该点函数vGrj）满足隐函数存在条件时，由方程祕＞丿）・。决定隐函数于是点二•就是一元函数T-/（x.gtr））的极限点，有—-X代入3鏑就有必）■厶（心必）0,（以下兀、厶、仇、眄均表示相应偏导数在点（&必）的值•）即X竹—£叭=人亦即（M，?y）（各，-帆）=-«可见向量（_/；,』；）与向量〔咎，-卩.）正交.注意到向量（傀，明）也与向量（兮，-佻）正交，即得向量（£,丿；）与向量（卩.，毋）线

7、性相关，即存在实数2,使（厲，工：）+二g,町）=:.二.Lagrange乘数法:由上述讨论可见，函数二=/（孔刃在约束条件卩（芻才）・0之下的条件极p,（X,^+Aft（X,jr）-0,值点应是方程组｛厶（心刃7眄（&R・0,的解.-0.倘引进所谓Lagrange函数£（乙”2）・/也力“祕兀‘〉，（称其中的实数2为Lagrange乘数）则上述方程组即为方程组{©（52）-0,-0,"亠刃・0・